이차방정식을 푸는 여러 가지 방법

이차방정식이란?

이차방정식은 모든 항을 좌변으로 이항하고 정리하여 아래와 같은 꼴로 나타낼 수 있는 방정식이다.

$x$에 관한 이차식$=0$

일반적으로 $x$에 관한 이차방정식은 상수 $a,b,c$를 써서 아래와 같이 적는다.

$$ax^2 +bx+c=0\quad\quad (a\not=0)$$

위의 이차방정식이 참이 되게 하는 미지수 $x$의 값을 이 이차방정식의 해 또는 근이라 하고, 이차방정식의 해를 모두 구하는 것을 이차방정식을 푼다고 한다. 

$x$의 값이 $0,\;1,\;2\;3$일 때, 이차방정식 $x^2 -3x+2=0$의 근을 찾아보자.

풀이는 간단하다 차례로 대입하여 참이 되는 값을 찾으면 된다.

$x=0$일 때, $0^2-3\times 0+2=2\not =0$

$x=1$일 때, $1^2-3\times 1+2=0$

$x=2$일 때, $2^2-3\times 2+2=0$

$x=3$일 때, $3^2-3\times 3+2=2\not =0$

따라서 $1$과 $2$는 근이다. 그런데 답을 적을 때는 아래와 같이 적는다.

$x=1$ 또는 $x=2$

$1$과 $2$ 둘 모두 이차방정식이 근이므로 $x=1$, $x=2$와 같이 적으면 될 것처럼 느껴지는데 굳이 '또는'을 쓰는 이유를 알아보자. 어렵게 설명하면 어렵고 쉽게 설명하면 쉽다. 중학생 수준에 맞는 설명을 적는다.

먼저 실수가 가진 성질을 알아보자.

두 실수 $a,b$에 대하여 $ab=0$이라고 하자. 

아래와 같이 네 가지 경우를 생각할 수 있다.

(1) $a=0,\;b=0$

(2) $a=0,\;b\not=0$

(3) $a\not=0,\;b=0$

(4) $a\not=0,\;b\not=0$

(1), (2), (3)을 통틀어 표현해 보자.

$a,\;b$ 둘 가운데 적어도 하나는 $0$이다.

뭔가 복잡한 느낌이지 않은가? 아래와 같이 쓰는 것이 가장 알맞은 표현이다.

$a=0$ 또는 $b=0$

두 일차식 $A,B$에 대하여 $AB=0$이라고 하자. 중학교 수준에서는 일차식에 대입하는 값은 모두 실수이다. 따라서 아래와 같이 써야 한다.

$A=0$ 또는 $B=0$

인수분해를 이용하여 이차방정식 풀기

이차방정식 $x^2 -5x+4=0$은 좌변을 인수분해할 수 있다. 

$$(x-1)(x-4)=0$$

$x-1=0$ 또는 $x-4=0$

$x=1$ 또는 $x=4$

아래에 있는 식은 모두 같은 뜻을 가진다.

$$2x^2 +5x-3=0\tag{1}$$

$$(2x-1)(x+3)=0\tag{2}$$

$$2x-1=0\quad \text{또는}\quad x+3=0\tag{3}$$

$$x=\frac{1}{2}\quad \text{또는}\quad x=-3\tag{4}$$

(1)과 같은 이차방정식을 푸는 문제는 당연히 (4)와 같이 해를 가장 간단한 꼴로 적어야 정답이다. 가끔 (3)처럼 쓰고 정답으로 처리해 달라고 하는 아이들이 있다. 안타깝지만 그럴 수 없다. (3)이 정답이라면 (2)도 정답이고 따라서 아무 일도 하지 않은 (1)도 정답이라고 할 수 있기 때문이다. 또한 아래와 같이 적으면 (4)와는 뜻이 다르다. 이해가 안 되면 윗부분을 찬찬히 다시 읽어보자. 그러므로 정답으로 인정받지 못할 수도 있다. '또는'을 잊지 말고 적도록 하자. 

$$x=\frac{1}{2},\quad  x=-3\tag{5}$$

찾아보면 영어로 쓸 때는 'and'를 쓰기도 하고 ','를 쓰기도 한다. 하지만 우리나라 교과서는 모두 '또는'을 적는다. 따라서 대한민국에서 이차방정식의 근을 적을 때는 (4)와 같이 쓰자. '또는'을 쓰지 않는 학생들은 아마도 절댓값이 같은 근을 적을 때나 '근의 공식'으로 구한 근을 적을 때를 생각하기 때문이다.

$x=2$ 또는 $x=-2$는 간단하게 $x=\pm 2$로 적는다.

$x^2 =3$의 근은 $x=\pm \sqrt{3}$으로 적는다.

제곱근을 이용하여 이차방정식 풀기

아래와 같이 1차항이 없는 꼴인 이차방정식은 제곱근으로 간단하게 해결된다.

$$x^2-2=0,\;\;4x^2 -25=0,\;\;3x^2 =4$$

나아가 완전제곱식이 있다면 쉽게 해결할 수 있다.

$$(x+2)^2=2,\;\;2(x-1)^2 -10=0$$

모든 이차방정식은 아래와 같은 이차항의 계수가 $1$인 꼴로 바꿀 수 있다.

$$x^2 +px+q=0$$

위의 방정식은 $x=z-p/2$를 대입하면 일차항이 사라진 꼴을 만들 수 있다.

$$\left(z-\frac{p}{2}\right)^2 +p\left(z-\frac{p}{2}\right)+q=0$$

$$z^2 -pz +\frac{p^2}{4}+pz -\frac{p^2}{2}+q=0$$

$$z^2=\frac{p^2}{4}-q$$

이제 $\displaystyle{ \frac{p^2}{4}-q \geq 0}$이라면 

$$z=\pm\sqrt{\frac{p^2}{4}-q }$$

$$x=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\frac{p^2}{4}-q }\tag{6}$$

예시 이차방정식 $2x^2 +6x-6=0$을 풀어보자.

양변을 2로 나눈다.

$$x^2 +3x-3=0$$

$x=z-3/2$를 대입하여 정리하자.

$$\left(z-\frac{3}{2}\right)^2+3\left(z-\frac{3}{2}\right)-3=0$$

$$z^2 -3z+\frac{9}{4}+3z-\frac{9}{2}-3=0$$

$$z^2=\frac{9}{4}+3$$

$$z=\pm \sqrt{\frac{21}{4}}$$

$$x=-\frac{3}{2}\pm\frac{\sqrt{21}}{2}$$

근의 공식 만들기

1.2에 있는 풀이법 (6)을 일반화하면 근의 공식을 얻을 수 있다.

$$ax^2 +bx+c=0\quad\quad a\not=0 $$

$$x^2 +\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0\tag{7}$$

(6)에서 $p=b/a,\;\;q=c/a$로 놓으면

$$x=-\frac{b}{2a}\pm\sqrt{\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a} }$$

외우기 쉽게 정리하자.

$$x=-\frac{b}{2a}\pm\sqrt{\frac{b^2 -4ac}{4a^2}}$$

$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2 -4ac}}{2a}\tag{8}$$

(8)를 이차방정식의 근의 공식이라고 부른다. 중학교에선 $b^2-4ac \geq 0$일 때만 생각한다. $b^2-4ac < 0$일 때는 근이 없다고 한다. 근을 판별한다는 뜻에서 판별식으로 부르고 보통 $D$로 적는다. 중학교에선 판별식을 특별하게 다루지 않지만 미리 알아두면 좋다. 아래와 같이 간단하게 표현할 수 있다.

$$D=b^2 -4ac$$

$$x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\tag{9}$$

상수항의 약수로 구하기

이차항 $x^2$의 계수가 1인 이차방정식이 정수인 계수로 인수분해가 되었다고 가정하자.

$$x^2 +bx+c=0$$

$$(x-m)(x-n)=0$$

양 변의 상수항을 비교하면 $c=mn$이다. 따라서 두 근 $m,n$은 모두 $c$의 약수이다.

이차방정식에서 상수항의 약수(음의 정수 포함)가 근이 될 가능성이 높다. 간단한 이차방정식은 상수항의 약수를 대입해서 근을 찾으면 쉽게 찾을 수 있다.

고등학교에서 배우는 인수정리를 이용한 풀이법이다.

이차방정식 $x^2 -3x-4=0$의 근을 찾아보자.

$-4$의 약수는 $-1,-2,4,1,2,4$이다. 차례로 대입해서 근이 되는가를 확인한다.

$$(-1)^2-3\times (-1)-4=0$$

$x=-1$이 근이므로 $-4=-1\times 4$에서 $x=4$가 또 다른 근임을 아주 쉽게 확인할 수 있다.