이차방정식의 시작

바빌로니아

1. 어떤 정사각형의 넓이와 한 변의 길이를 더하면 3/4이다.

2. 두 변의 합은 29이고 넓이는 210인 직사각형의 두 변의 길이를 구하여라.

위는 바빌로니아 점토판에 새겨진 문제들이다. 우리가 쓰고 있는 방정식으로 나타내면 아래와 같다.

$$x^2 +x=\frac{3}{4}$$

$$x+y=29,\;\;xy=210$$ 

오늘날엔 수와 문자로 방정식을 세워서 간단하게 해결할 수 있지만 기원전 2000년 경엔 쉽지 않았을 것이다. 중학교 3학년에서 배우는 근의 공식이 나오기까지 수천 년을 기다려야 했다. 그 시대에 이런 문제를 풀 수 있는 사람은 극소수였을 것이다.

바빌로니아인이 남긴 점토판: 2의 제곱근을 계산한 결과를 기록하였다.

참고: 바빌로니아인은 60진법을 사용하였다. 대각선에 있는 1; 24,51,10이 나타내는 수를 10진법으로 나타내면 아래와 같다. (점토판에선 ';'처럼 소수점을 나타내는 기호를 쓰지 않았다. 그냥 문맥을 보고 판단해야 한다고 한다.)

$$1+\frac{24}{60}+\frac{51}{60^2}+\frac{10}{60^3}=1.41421\dot{2}9\dot{6}$$

$$x+y=p\tag{1}$$

$$xy=q\tag{2}$$

(1)$\times x$을 다시 정리해 보자

$$x^2+xy=px$$

결국 아래와 같은 이차방정식을 푸는 것과 같다. 

$$x^2 +q=px\tag{3}$$

위의 방정식을 바빌로니아 서기관들은 아래와 같이 해결했다.

1. $p/2$을 계산한다.
2. 1에서 구한 값을 제곱한다.
3. 2의 값에서 $q$를 뺀다.
4. 3에서 구한 값의 제곱근을 구한다.
5. 1과 4의 값을 더한 값이 답이다.

식으로 표현하면 오늘날 우리가 쓰고 있는 근의 공식과 다르지 않다. $$x=\frac{p}{2}+\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}$$

처음에 소개한 방정식을 풀어보자.

$x+y=29,\;\;xy=210$ 

1, 2, 3단계: $\displaystyle{\left(\frac{29}{2}\right)^2-210=\frac{841}{4}-210=\frac{1}{4}}$

4단계: $\displaystyle{\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}}$

5단계: $\displaystyle{\frac{29}{2}+\frac{1}{2}=15}$

인류가 음수를 받아들이기까지 상당한 세월이 필요했다. 당연히 바빌로니아인은 음의 제곱근은 생각하지 않아서 위 방법으로는 이차방정식의 근을 하나만 찾을 수 있다. 

 

고대 그리스

고대 그리스 수학은 기하학이다. 기하학에서 넓이를 다루는 문제는 오늘날 우리가 쓰는 식으로 나타내면 이차방정식과 관련 있다. 유클리드 원론엔 아래와 같은 명제가 나온다.

한 선분을 임의로 잘랐을 때, 그 선분 위에 세운 정사각형과 한 부분 선분 위에 세운 정사각형의 합은 전체 선분과 그 선분으로 이루어진 직사각형 2배와 나머지 선분 위에 세운 정사각형의 합과 같다. (제2권 명제 7)

위 그림에서 $\overline{AB}=x,\;\;\overline{AC}=y,\;\;\overline{CB}=z$라고 하면 아래와 같이 나타낼 수 있다.

$$x^2 +z^2=2xz+y^2$$

유클리드 원론 2권은 오늘날 중학교 3학년 수학에 나오는 여러 가지 곱셈공식을 모두 포함하고 있다. 

어떤 직선을 주었을 때, 그 직선을 적당히 잘라 전체 길이와 한 토막으로 만든 직사각형이 다른 토막을 가지고 만든 정사각형과 넓이가 같도록 만들어라. (제2권 명제 11)

$\overline{AB}=x, \;\; \overline{AH}=y$라고 하면 $\overline{HB}=x-y$이다.

$$\begin{split} \overline{BD}\times \overline{HB}=\overline{AH}^2\\ x(x-y)=y^2\\ x^2 -xy-y^2 =0\\ \displaystyle{\bigg(\frac{x}{y}\bigg)^2 -\frac{x}{y}-1=0}\end{split}\tag{4}$$

$x/y=z$로 놓고 다시 적으면 아래와 같은 이차방정식을 얻는다.

$$z^2 -z-1=0$$

이것은 황금분할(golden section)로 불리는 아주 유명한 문제이다. 위 방정식의 해를 황금비라고 부른다. 전체와 부분의 비율이 부분끼리 비율과 같다.  $$\frac{x}{y}=\frac{y}{x-y}$$

(4)의 근인 황금비는 아래와 같다. 보통 $\varphi$로 적는다.

$$z=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$$

https://suhak.tistory.com/1317

2차 방정식을 대하는 자세