바빌로니아의 이차방정식

고대 바빌로니아인이 남긴 점토판에 아래와 같은 기록이 있다. 

어떤 정사각형은 넓이와 한 변의 길이를 더하면 3/4이다. 이 정사각형의 한 변의 길이를 구하면 1/2이다.

우리나라로 치면 고조선 시대를 살았던 이들이 이차방정식을 풀었다고 하니 놀랍지 않은가? 과연 그들은 어떻게 풀었을까? 점토판에는 답을 구하는 공식은 쓰여 있으나 자세한 풀이는 없다.

아래와 같은 이차방정식에서 좌변을 사각형 넓이의 합으로 해석하는 풀이를 보자. 아래는 아라비아 수학자 알콰리즈미(Al-Khwarizmi: 780?~850?)가 사용한 방법이다. 고대 바빌로니아인도 비슷한 방법으로 해결했을 것이다.

$$x^2 +bx=c$$

$$x^2 +bx+\left(\frac{b}{2}\right)^2=c+\left(\frac{b}{2}\right)^2$$

$$\left(x+\frac{b}{2}\right)^2=c+\left(\frac{b}{2}\right)^2$$

$$\displaystyle x+{\frac {b}{2}}={\sqrt {\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}+c}}$$

$$\displaystyle x=-{\frac {b}{2}}+{\sqrt {\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}+c}}$$

고대 바빌로니아인은 음수를 사용하지 않았으므로 당연히 음의 제곱근을 생각하지 않았다. 따라서 먼저 근을 하나만 구하고 있다고 한다. 아래와 같은 문제를 적은 점토판도 있다고 한다.

두 변의 길이를 더하면 29이고 넓이는 210인 직사각형이 있다. 이 직사각형의 두 변의 길이는 각각 15와 14이다.

$$x+y=p\tag{1}$$

$$xy=q\tag{2}$$

(1)$\times x$을 다시 정리해 보자

$$x^2+xy=px$$

결국 아래와 같은 이차방정식을 푸는 것과 같다. 

$$x^2 +q=px\tag{3}$$

위의 방정식을 바빌로니아 서기관들은 아래와 같이 해결했다.

1. $p/2$을 계산한다.
2. 1에서 구한 값을 제곱한다.
3. 2의 값에서 $q$를 뺀다.
4. 3에서 구한 값의 제곱근을 구한다.
5. 1과 4의 값을 더한 값이 답이다.

식으로 표현하면 오늘날 우리가 쓰고 있는 근의 공식과 다르지 않다. $$x=\frac{p}{2}+\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}$$

까마득한 옛날에 이런 걸 풀어낸 사람은 과연 누구일까? 도대체 어떻게 구했을까? 궁금한 점이 한두 가지가 아니다.

 

바빌로니아 방식으로 이차방정식을 풀어보자.

$$x+y=29,\;\;xy=210$$ 

1, 2, 3단계: $\displaystyle{\left(\frac{29}{2}\right)^2-210=\frac{841}{4}-210=\frac{1}{4}}$

4단계: $\displaystyle{\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}}$

5단계: $\displaystyle{\frac{29}{2}+\frac{1}{2}=15}$

수학 문제가 있는 점토판은 기원전 2000년에서 1500년쯤 되는 시대의 유물이다. 그 시대엔 수식이 없었으므로 모두 말로 적었는데 위에 있는 문제와 마찬가지로 풀었다고 한다.

아래에 있는 점토판에는 피타고라스 수가 적혀 있다고 한다.

https://en.wikipedia.org/wiki/Babylonian_mathematics

Babylonian mathematics - Wikipedia