방정식! 넌 누구냐?

방정식은 미지수의 값에 따라서 참 또는 거짓이 결정되는 등식이다. 어쩌면 수학은 방정식에서 시작하고 방정식에서 끝난다. 방정식에 가장 흔하게 등장하는 미지수는 $x$이다.

요즘은 MZ-세대란 말이 있듯이 옛날엔 X-세대란 말이 있었다. 1991년 더글러스 커플랜드(Douglas Coupland)는 소설 「Generation-X」(X세대)를 뉴욕에서 출판했다. 나라마다 차이가 있지만 대체로 1990년대 20대였던 1965년 이후 출생자를 말하며, 2000년대 20대인 밀레니얼-세대와 구분을 위해 1979년생까지로 정리하기도 한다. 기성세대와 구별 짓는 뜻으로 미지수와 같이 알기 어려운 세대라는 뜻으로 사용하였다.

방정식을 참이 되도록 하는 미지수를 모두 구하는 일을 방정식을 푼다고 한다. 어떤 방정식은 알고 보면 너무 간단한 녀석인데 어렵다고 지레 짐작하고 알려는 시도조차 않는 이들이 너무 많다.

$$x=2\tag{1}$$

(1)은 더 풀 필요도 없는 가장 간단한 방정식이다.

$$2x=4\tag{2}$$

$$2x+3=7\tag{3}$$

등식의 양변에 적당한 수를 사칙연산하면 조금 더 복잡한 방정식이 된다. 여전히 간단히 풀 수 있는 일차방정식이다. (2)나 (3)과 같은 방정식을 (1)처럼 만드는 일이 바로 방정식을 푸는 일이다. 방정식의 양변에 적당한 수를 연산하여 좌변에 $x$만 남기면 끝이다.

$$ax+b=0\;\;\Rightarrow\;\; x=-\frac{b}{a} \quad (a\not=0)$$

(1)을 거듭제곱을 하면 이차방정식을 만들 수 있다. 

$$x^2=4\tag{4}$$

$$2x^2+3=11\tag{5}$$

이차방정식은 일차방정식보다는 풀기가 어렵다. 하지만 조금만 생각하면 이 또한 아주 쉽다. (5)를 (4)와 같이 만들면 해결된다. 이것이 바로 제곱근을 이용한 풀이법이다. 일차와 달리 이차방정식은 조심해야 한다. (1)이면 (2)는 참이지만 (2)이면 (1)은 거짓이다. $4$의 제곱근은 $\pm2$로 둘이다. 

조금 더 복잡한 방정식을 만들자. (1)과 (4)를 더하면 아래와 같다.

$$x^2 +x=6\tag{6}$$

(6)을 (5)처럼 만드는 방법을 생각해 보자.

$x=z-1/2$을 대입하면 1차항이 사라진다.

$$\left(z-\frac{1}{2}\right)^2+\left(z-\frac{1}{2}\right)=6$$

$$z^2 -z+\frac{1}{4}+z-\frac{1}{2}=6$$

$$z^2=6+\frac{1}{4}$$

다시 $z=x+1/2$로 되돌리면

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^2=\frac{25}{4}\tag{7}$$

(7)의 좌변과 같은 식을 완전제곱식이라고 한다. 더 자세한 내용은 아래 글을 참고하자.

https://suhak.tistory.com/1490

이차방정식을 푸는 여러 가지 방법

 

복잡하지만 이런 방정식은 기원전 2000년쯤에도 풀었던 기록이 있다.

https://suhak.tistory.com/1491

바빌로니아의 이차방정식