자유낙하는 이차함수

농구공에 전혀 힘을 가하지 않고 공중에서 떨어뜨리고 일정한 시간마다 사진을 찍어서 아래와 같은 사진을 얻었다. 

이처럼 만유인력만 작용하는 낙하를 자유낙하(free fall)라고 부른다. 시간 $x$와 낙하거리 $y$ 사이의 관계를 표로 나타내면 아래와 같다.

x	1	2	3	4	5	6	7	8	9
y	1	4	9	16	25	36	49	64	81

함수식으로 나타내면 $y$는 $x^2$에 비례한다.

$$y=x^2$$

자유낙하는 등가속도 운동이다. 자유낙하를 조금 더 정확한 식으로 적으면 아래와 같다. (단, $g=9.8m/s^2$) 

$$y=\frac{g}{2}x^2\tag{1}$$

참고: 만유인력 법칙에 따르면 중력가속도 $g$는 물체와 지구 사이 거리의 제곱에 반비례하므로 상수가 아니다. 하지만 지구 크기가 매우 커서 낙하하는 물체의 거리 변화는 무시해도 괜찮다. 

일반적으로 함수 $y=f(x)$에서$$y=ax^2 +bx+c\quad (a,\;\;b,\;\;c\text{는 상수},\;\;a\not=0)$$와 같이 $f(x)$가 $x$에 관한 이차식으로 나타내어질 때, $y$는 $x$에 관한 이차함수라고 한다.

모든 것은 항상 기본에서 시작해야 한다.

먼저 함수 $y=x^2$의 그래프를 생각하자.

이 그래프는 곡선 위에 있는 서로 다른 두 점을 잇는 직선 아래쪽으로 휘어져 있다. 이런 모양을 아래로 볼록하다고 말한다. (참고: 볼록의 엄밀한 정의)

이제 함숫값 $f(x)$에 적당한 상수를 곱하면 어떤 함수가 될까 생각해 보자. 아래는 각각 2와 1/2을 곱한 함수의 그래프이다.  

함수 $y=ax^2$의 그래프는 아래와 같이 생각할 수 있다.

$a>1$이면 $y$의 값이 기준인 $y=x^2$보다 더 빠르게 커진다.

$0<a<1$이면 $y$의 값이 기준인 $y=x^2$보다 더 느리게 커진다.

$a<0$일 때는 아래와 같이 대칭인 그래프를 가진다. 이런 모양을 위로 볼록하다고 말한다.

 

같은 좌표평면에 그래프를 그려보자. 

 

함수 $y=ax^2$의 그래프는 포물선이라고 부른다. 포물선은 선대칭 도형이고, 대칭축을 포물선의 축이라고 하며, 포물선과 축의 교점을 포물선의 꼭짓점이라고 한다. 이차함수 $y=ax^2$의 그래프는 축은 $y$축이고 꼭짓점이 원점인 포물선이다.  상수 $a$에 따라 포물선의 모양이 결정된다.

$a$의 부호에 따라 요철이 결정된다.
$\rightarrow$ $a>0$이면 아래로 볼록, $a<0$이면 위로 볼록하다.

$|a|$의 크기에 따라 폭이 결정된다.
$\rightarrow$ 절댓값이 크면 폭이 좁아지고 작으면 폭이 넓어진다.

 

 

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