암산 훈련을 해보자

주산 등을 배워 엄청난 속도로 셈을 하는 이들을 보았을 것이다. 

암산에 뛰어난 재능을 가진 오일러에 미칠 수는 없겠지만 누구나 조금만 훈련을 한다면 조금 더 빠른 셈을 할 수 있을 것이다. 

 

고등학교에서 배우는 간단한 곱셈공식을 이용한 훈련을 적어본다. 

일의 자리가 5인 수의 거듭제곱

`15\times 15=225`인 것은 외워서 알고 있을 것이다. 

`35\times 35=1225`는 외우고 있는가? 

`35\times 35=(30+5)(30+5)=30^2 +2\cdot 5\cdot 30+25=30(30+10)+25`이다. 

 

이것을 일반화해보자. 

$$\begin{array}{rl}a5\times a5& =(a\cdot 10+5)(a\cdot 10+5)\\ & =a^2\cdot {10}^2+2\cdot 5\cdot a\cdot 10+25\\ & =\overbrace{a(a+1)}\cdot {10}^2+25\end{array}$$

이다. `75\times 75`는 먼저 `7\times 8`을 적고 마지막에 `25`를 적어 `5625`라고 계산한다. `95^2 =9025`이다. 

일의 자리의 합이 10인 수인 경우

$$\begin{array}{rl}(10m+a)(10m+b)& =100m^2+10m(a+b)+ab\\ & =100\overbrace{m(m+1)}+ab\end{array}$$

이므로 일의 자리의 수를 더한 값이 10인 경우에도 그대로 적용된다. 

`17\times 13=221`,`26\times 24=624`등과 같이 셈하면 된다. 

`26\times 24=(25+1)(25-1)=25^2 -1=224`와 같이 생각해도 된다. 

`37\times 33`은 `3\times 4=12` 그리고 `3 \times 7=21`이므로 `1221`이다. 재미있지 않은가? 

연습해보자. 

`47\times 43=`

`58\times 52=`

`104\times 106=`

응용

잘 된다면 이번엔 `41\times 48`은 어떤가? 

먼저 `42\times 48=2016`한 다음 `48`을 빼는 것은 너무 힘들까?

`(40+1)(50-2)=2000+50-80-2=1968`은 어떤가?

`72\times 68=(70+2)(70-2)=4900-4=4896`

`23\times 47=(20+3)(50-3)=1000+150-60-9=1081` 또는 `23\times 47=23(27+20)=621+460=1081`등으로 생각하여 암산하는 훈련을 해보자.

`42\times 68=`

 

`36\times 54=`

"아 머리 아프다.!" 

"이것들 보다 더 복잡한 것은 어떻게 하나요?"

"그때는 계산기를 사용하자."

덧붙임

곱셈공식 뿐만 아니라 인수분해 공식도  암산을 하는데 아주 유용하다.

`17\times 4+9\times17`가 암산이 되는가? 혹시 `68+153`으로 계산하고 있는 것은 아닌지.

 `17`로 묶어내면 `17\times 13`답은 221. 반드시 그런 것은 아니지만 `ab+ac`는 `a(b+c)`로 계산하는 것이 간편하다.

`a^2 -b^2 =(a-b)(a+b)`도 잘 쓸 수 있다.

`12^2 -11^2 =`

`24^2 -22^2 =`

`46^2 -16^2 =`