$\pi$는 무리수다

무리수는 순환하지 않는 무한소수이다. 무한소수임을 보이는 것도 쉽지 않은데 순환하지 않음까지 보여야 한다. 따라서 어떤 수가 무리수임을 증명하기는 어렵다. $\pi$는 가장 처음 만나는 무리수이다. 당연히 $\pi$ 무리수라고 알고 있지만 증명을 하는 사람은 많지 않다. 고등학교 수준으로 증명을 이해할 수 있을 것 같아서 적는다.

먼저 $\pi^2$이 무리수임을 보이는 증명이다. 1794년 라그랑제(Joseph Louis Lagrange)가 증명했다.

증명

$\pi^2$가 유리수라고 가정하자. $\mathbb{Z}$는 정수 전체의 집합

$\displaystyle{\pi^2=\frac{p}{q}\quad (p,q \in \mathbb{Z},\;\;q\not=0)}$라고 놓을 수 있다.

$\displaystyle{(q\pi)^2=q^2\left(\frac{p}{q}\right)=pq}$이므로 $(q\pi)^2$는 정수이다.

$$A_n = \frac {q^n} {n!} \int_0^\pi (x (\pi - x))^n \sin x d x$$

부분적분을 두 번 시행하자.

\begin{split}A_n&=\frac {q^n} {n!} \int_0^\pi n (x (\pi - x))^{n - 1}(\pi - 2 x) \cos x d x\\&= \frac {q^n} {n!} \int_0^\pi \left[2 n (x (\pi - x))^{n - 1} - n (n-1)(x (\pi - x))^{n - 2} (\pi - 2 x)^2\right] \sin x d x\end{split}

여기서 $(\pi-2x)^2=\pi^2 -4x(\pi-x)$임을 이용하여 정리하자.

\begin{split}2 n (x (\pi - x))^{n - 1} - n (n-1)(x (\pi - x))^{n - 2} (\pi - 2 x)^2\\=(4n-2n)(x(\pi-x))^{n-1}-\pi^2 n(n-1)(x(\pi-x))^{n-2}\end{split}

아래와 같은 점화식을 얻는다.

$$A_n=(4n-2)qA_{n-1}-(q\pi)^2A_{n-2}\tag{1}$$

\begin{split}A_0&=\int_{0}^{\pi}\sin x dx=2 \\ A_1&=q\int_{0}^{\pi}x(\pi-x)\sin x dx=4q \end{split}

1. $A_0, A_1$이 정수이다.
2. 점화식 (1)에서 $q$와 $(q\pi)^2$이 정수이므로 $A_{k-1}, A_{k-2}$가 정수이면 $A_k$도 정수이다.

수학적 귀납법에 따라 모든 자연수 $n$에 대하여 $A_n$은 정수이다.

$\forall x\in[0,\;\;\pi]$에 대하여

$$0 \le \sin x \le 1$$

$$0 \le x(\pi-x) \le \pi^2 /4$$

그러므로 $$0 \le A_n \le \pi \dfrac {(q \pi^2 / 4)^n} {n!}$$이다.

$$ \lim_{n \mathop \to \infty} \frac {(q \pi^2 / 4)^n} {n!} = 0\tag{2}$$

스퀴즈 정리에 따라

$$ \lim_{n \mathop \to \infty}A_n= 0\tag{3}$$

이것은 충분히 큰 $n$에서 $A_n$이 0과 1 사이에 있음을 뜻한다.

이것은 $A_n$이 정수라는 사실과 모순이다.

따라서 $\pi^2$은 무리수다.

유리수의 제곱은 유리수이므로 $\pi$는 유리수가 아니다.

 $\pi$은 무리수다.

 

https://suhak.tistory.com/1446

원주율의 연대기