바이어스트라스 함수

Karl Theodor Wilhelm Weierstrass: 1815. 8. 30. ~ 1897. 2. 19.

수학을 가르친다고 하면 흔한 오해의 말들이 돌아온다. '아휴 그런 그딴 걸 어떻게 가르쳐요?', '깐깐하시겠네요?', '수학을 배워서 어디다 써먹나요?' 이럴 때 필요한 수학자가 남긴 멋진 말들이 많다. 아주 널리 알려지지 않았지만 바이어스트라스가 남긴 참으로 멋진 말을 적는다. 수학 교사로 수십 년을 살아온 나도 바이어스트라스가 이런 말랑말한 말을 남기 사실을 며칠 전에 처음 알았다. 엄격하기로 손꼽히는 수학자라서 더욱 뜻밖이다.

It is true that a mathematician who is not also something of a poet will never be a perfect mathematician. 시인이 아닌 수학자는 결코 완벽한 수학자가 될 수 없다.

무한소나 무한대가 지닌 허점을 없애기 위해 엄밀하게 극한을 정의하기 위한 과정을 살피는 글을 쓰다가 찾았다. 그의 이름을 들으면 바로 떠오르는 볼차노-바이어스트라스 정리가 있다. 뭔지는 가물가물하지만 워낙 중요한 정리였다고 기억한다. 여기에는 그가 남긴 함수를 하나 기록해 둔다.

바이어스트라스 함수

바이어스트라스는 논문(1872. 3. 18.)에서 푸리에 급수로 만든 아래와 같은 함수를 제안했다. 보기에도 무섭게 생겼다. 

$$\displaystyle {f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a^{n}\cos(b^{n}\pi x)}$$

$$0<a<1, \;\;b=2n-1(n\in\mathbb{N}), \;\;ab>1+\frac{3}{2}\pi$$

$a=0.4,\;b=11$일 때 그래프는 아래와 같다.

$$f(x)=a\cos(b\pi x)$$

$$f(x)=a^2\cos(b^2 \pi x)$$

$$f(x)=a\cos(b\pi x)+a^2\cos(b^2 \pi x)$$

이전까지 모든 수학자는 "연속 함수는 미분불가능한 점이 많아야 유한이라고 생각했다." 하지만 위에 있는 함수는 모든 점에서 연속이지만 모든 점에서 미분불가능하다.  연속이면서 미분불가능한 점이라면 뾰족점이 떠오른다. 그래프 위의 모든 점이 뾰족점인 함수다. 처음 등장한 프랙털 함수이기도 하다. 

앙리 푸앵카레(Henri Poincaré)는 이 함수를 "괴물"이라 부르고 그의 작업을 "상식에 대한 분노"라고 불렀다. 허미트(Charles Hermite)는 "불쌍한 재앙"이라고 썼다. 이 함수는 다음 세기에 컴퓨터가 등장할 때까지 시각화하기 어려웠고 브라운 운동 모델과 같은 실제 응용 프로그램이 무한하게 들쭉날쭉한 함수(요즘에는 프랙탈 곡선으로 알려짐)를 필요로 하기 전까지는 널리 받아들여지지 않았다. 어쨌든 바이어스트라스 이후로 수학에서 직관적으로 그렇다는 말은 좀처럼 받아들이지 않게 되었다. 

프랙털은 자기유사성을 지닌다.

 

$a$의 값이 0.1에서 5로 증가하는 애니메이션

수학에서 모호함을 몰아내고 엄밀함의 극한을 추구하게 만든 바이어스트라스가 수학자는 시를 쓰는 마음을 가져야 한다는 말을 남겼다는 것이 아이러니하다. 

 

https://en.wikipedia.org/wiki/Weierstrass_function

Weierstrass function - Wikipedia