네 점이 같은 원 위에 있을 조건

일직선 위에 있지 않은 임의의 세 점을 지나는 원은 항상 존재한다. 네 점을 지나는 원은 항상 존재하지 않는다. 아래 그림은 네 점이 같은 원 위에 있을 조건을 설명하는 그림이다.

두 점 점 $B$와 점 $D$가 선분 $AC$에 대하여 같은 쪽에 있을 때

한 호에 대한 원주각은 모두 같아야 하므로

$$\mathrm{\angle }CBA=\mathrm{\angle }CDA$$

위 그림에서 $$\mathrm{\angle }CFA=\mathrm{\angle }FDA+\mathrm{\angle }FAD$$이므로

원 내부에 있는 점 $F$는 아래를 만족한다.

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \mathrm{\angle }CFA>\mathrm{\angle }FDA=\mathrm{\angle }CBA\end{array}$$

마찬가지로 원 외부에 있는 점 $E$는

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \mathrm{\angle }FDA=\mathrm{\angle }CBA>\mathrm{\angle }DEA\end{array}$$

(1), (2)까지 이해하면 네 점 사이의 위치관계를 정확하게 파악할 수 있다.

두 점 점 $B$와 점 $D$가 선분 $AC$에 대하여 반대 쪽에 있을 때

원주각의 성질에 따라 $$\mathrm{\angle }CBA+\mathrm{\angle }CDA={180}^{\circ }$$이다.

심화문제

아래 그림과 같이 한 변의 길이가 2인 정사각형 $ABCD$의 내부에 있는 점 $P$를 고른다고 하자. $\triangle ABP$가 예각삼각형이 되는 점 $P$가 존재하는 영역의 넓이를 구하시오.

 

예각과 둔각을 가르는 기준은 직각이다. 선분 $AB$가 빗변인 직각삼각형이 되는 점의 자취는 반원이다. 따라서 예각삼각형이 되는 점 $P$는 반원의 외부이다. 따라서 넓이는 $$4-\frac{\pi }{2}$$