제곱근의 곱셈과 나눗셈

"$\sqrt 2$는 어떤 수인가요?"

"$1.414$입니다."

"그러면 $\sqrt 2$는 유리수인가요?"

"아니오. 무리수입니다."

 "다시 $\sqrt 2$는 어떤 수인가요?"

"$???$"

"2의 제곱근과 제곱근 2는 같은 말인가요?"
"$???$"

너무나 당연해 보이는 걸 설명하는 일이 어려울 때가 많다.

$$\sqrt2 \times \sqrt 3 =\sqrt {2\times3}$$

왜일까? 좌변과 우변이 다른 점을 말해보자.

좌변은 제곱근 2와 제곱근 3을 곱한 것이다.

우변은 2와 3을 곱한 6의 양의 제곱근이다.

다시 말하면 제곱근을 먼저 구하고 곱셈을 한 것은 곱셈을 먼저 하고 제곱근을 구한 것과 같음을 보여야 한다.

무리수도 수이므로 유리수와 마찬가지로 곱셈에서 교환법칙과 결합법칙이 그대로 성립해야 한다.

1) 먼저 두 수 $\sqrt2$와 $\sqrt3$은 모두 양수이므로 두 수의 곱은 양수이다.

2) 아래와 같이 두 수의 곱 $\sqrt 2 \times \sqrt 3$을 제곱하면 6이 된다.

$$\begin{split} (\sqrt2 \times \sqrt 3 )^2 &=( \sqrt2 \times \sqrt 3 )\times ( \sqrt2 \times \sqrt 3 )\\&= \sqrt2 \times \sqrt 3 \times \sqrt2 \times \sqrt 3 \\&=(\sqrt2\times\sqrt2)\times(\sqrt 3\times\sqrt 3) \\&=\sqrt{2}^2\times \sqrt{3}^2 \\&=6\end{split}$$

$\sqrt 2 \times \sqrt 3$은 제곱해서 6이 되는 양수이므로 6의 양의 제곱근인 $\sqrt{6}$이다.

제곱근의 곱셈

일반적으로 $a>0,\;\; b>0$일 때, $\sqrt a \sqrt b =\sqrt{ab}$임을 보여라.

1) 두 수 $\sqrt a ,\sqrt b$가 모두 양수이므로 두 수의 곱은 양수이다.

$$\sqrt a \sqrt b>0$$

2) 두 수의 곱인 $\sqrt a \sqrt b$가 $ab$의 제곱근임을 보이자.

$$\begin{split} (\sqrt a \times \sqrt b )^2 &=( \sqrt a \times \sqrt b )\times ( \sqrt a \times \sqrt b )\\&= \sqrt a \times \sqrt b \times \sqrt a \times \sqrt b \\&=(\sqrt a\times\sqrt a)\times(\sqrt b\times\sqrt b) \\&=\sqrt{a}^2\times \sqrt{b}^2 \\&=ab\end{split}$$

1), 2)에 따라서 $\sqrt a \sqrt b$는 $ab$의 양의 제곱근인 $\sqrt{ab}$와 같다.

$$\sqrt a \sqrt b=\sqrt{ab}\tag{1}$$

이제 아래와 같이 제곱근의 곱셈을 계산할 수 있다.

$$\sqrt{\frac{2}{3}}\sqrt{\frac{3}{8}}=\sqrt{\frac{2}{3}\times\frac{3}{8}}=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{4}$$

좌변 $\displaystyle{\sqrt{\frac{2}{3}}}$와 $\displaystyle{\sqrt{\frac{3}{8}}}$은 모두 무리수이므로 순환소수가 아닌 무한소수이다. 이 두 수를 곱하는 일은 복잡함을 너머 불가능하다. 하지만 유리수 곱셈을 먼저함으로써 간단하게 해결할 수 있다.

제곱근의 나눗셈

제곱근의 나눗셈도 마찬가지다. 교과서에 아주 잘 정리되어 있지만 대부분 별로 신경 쓰지 않는다. 그저 계산만 연습하는 것으로는 부족하다. 이런 부분을 잘 따져서 이해하려고 힘써야 훗날 고등학교 수학을 쉽게 이해할 수 있다. 요점만 정리된 것만으로 공부하다 보면 수학 공부에 커다란 구멍이 생기게 된다.

마찬가지로 $a>0,\;\; b>0$일 때

1)

$$\frac{\sqrt a}{ \sqrt b}>0$$

2)

$$\begin{split} \bigg(\frac{\sqrt a}{  \sqrt b} \bigg)^2 &= \frac{\sqrt a}{  \sqrt b} \times  \frac{\sqrt a}{  \sqrt b} \\&=\frac{ \sqrt a \times \sqrt a }{\sqrt b \times \sqrt b} \\&=\frac{\sqrt{a}^2}{\sqrt{b}^2} \\&=\frac{a}{b}\end{split}$$

1), 2)에 따라 아래와 같은 등식이 성립한다.

$$\frac{\sqrt a}{ \sqrt b}=\sqrt{\frac{a}{b}}\tag{2}$$