$x$를 포함한 다항식의 인수분해

많은 학생이 수학을 포기하는 순간이 있다. 초등학교에서 분수, 중학교 1학년에선 음수, 3학년에선 인수분해를 배울 때이다. 인수분해(因數分解: factorization)를 정리해 둔다. 교과서에 나오는 공식과 조금 다른 방식으로 설명하고자 한다. 고등학교 과정에 있는 인수정리를 쓰고 있으니 선행학습이라는 지적도 있을 것이다. 하지만 공식에만 기댄 단순 문제풀이로 학생을 지치게 하는 것보다 나을 수도 있겠다 싶다. 이것도 공식으로 외우려고 들면 절대로 안 된다.

출발

기본

다항식의 각 항에 공통인 인수가 있을 때 분배법칙으로 공통된 인수로 묶어 낸다. 이때 공통 인수는 최대한으로 묶어 내야 한다. 당연히 숫자인 인수는 최대공약수로 묶어 낸다. 

$$3x^2y-6xy^2=3xy(x-2y)$$

뒤에 배우는 다른 어떤 공식보다 먼저 생각해야 하는 인수분해인데 그냥 지나치는 학생이 많다.

$$2x^2 +8x+6=2(x^2+4x+3)=2(x+1)(x+3)$$

$(2x+2)(x+3)$이나 $(x+1)(2x+6)$는 아직 인수분해가 마무리되지 않은 식이다.

중1에서 $10=2\times5,\;\;12=2\times6=2\times2\times3=2^2\times 3$과 같은 인수분해를 배웠다. 특히 소수인 인수만으로 나타내는 소인수분해를 배웠다. 자연수를 인수분해할 때는 인수(factor)를 약수(divisor)로도 부른다. 하지만 약수분해로 부르지는 않는다. 인수와 약수는 서로 같은 말이다.

정수 $a,\;b$에 대하여 $ab=m$이면 $m$은 $a,\;b$의 배수이고, $a,\;b$는 $m$의 약수이다.

여기서 $1$과 $ab$는 당연한 $m$의 약수이다. $10$의 약수는 $1,\;2,\;5,\;10$이다.

이와 마찬가지로 $x^2+4x+3=(x+1)(x+3)$이므로 다항식 $x^2+4x+3$의 인수는 $1$, $x+1$, $x+3$, $x^2+4x+3$이다. 다항식의 인수분해에선 숫자인 인수의 약수는 대표로 $1$만 생각하면 된다. 

공식

곱셈공식은 모두 인수분해 공식으로 바꿀 수 있다.

$$\begin{split}&ma+mb=m(a+b)\\&a^2 \pm 2ab+b^2=(a\pm b)^2\\&a^2 -b^2=(a+b)(a-b)\\&x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)\\&acx^2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)\end{split}$$

$x$를 포함한 다항식

인수분해는 이차방정식을 풀 때 좋은 도구가 된다. 따라서 $x$를 포함한 다항식의 인수분해는 따로 살펴볼 필요가 있다. 

상수항의 약수

수학은 알고 보면 끝없이 같은 말을 되풀이하는 일이다.

$$x=1\iff x-1=0$$

$$x=3\iff x-3=0$$

$$x=a,\;x=b\iff x-a=0,\;\;x-b=0\iff(x-a)(x-b)=0$$

왼쪽에서 오른쪽으로 올 때는 쉽지만 오른쪽에서 왼쪽으로 가는 일은 쉽지 않다. 오른쪽에서 왼쪽으로 가는 일이 바로 수학에서 말하는 문제 해결이다. 이차방정식이 먼저냐 인수분해가 먼저냐를 따지는 일은 무의미하다. 

이차방정식 $x^2-4x+3=0$의 해를 구하는 일과 다항식 $x^2 -4x+3$을 인수분해하는 일은 결국 같은 일이다.

$3$의 약수는 $1,\;3$이 있다. 이때 음수인 약수 $-1,\;-3$까지 생각해야 한다.  $1^2 -4\times 1+3=0$이고 $3^2-4\times3+3=0$이므로 아래와 같이 인수분해할 수 있다.

$$x^2 -4x+3=(x-1)(x-3)$$

평균과 합차 공식

$$x^2+4x+3=(x+a)(x+b)\tag{1}$$

(1)은 아래와 같이 다시 적을 수 있다. $$a+b=4,\;\;ab=3$$

여기서 두 수 $a$와 $b$의 평균은 $2$이므로 두 수는 $2-t,\;2+t$로 놓을 수 있다.

$$\begin{split}(2-t)(2+t)&=3\\ 4-t^2&=3\\t^2&=1\\ t&=\pm1\end{split}$$

이처럼 쉽게 $1,\;\;3$을 구할 수 있다.

연습문제

아래에 있는 이차식을 인수분해하시오.

1) $x^2-5x+4$

2) $x^2+2x-15$

3) $x^2-3x-28$

이차항의 계수가 $1$이 아닐 때

이차항의 계수가 $1$이 아니라면 어떻게 할까? 두 번째 방법 4.2를 쓰자. 엄청 복잡해 보이지만 사실 계산은 보기와 달리 아주 쉽다.

$$2x^2 -5x-3=2\bigg(x^2 -\frac{5}{2}x-\frac{3}{2}\bigg)=2(x+a)(x+b)$$

이 문제는 아래와 같이 바꿀 수 있다.

$$a+b=-\frac{5}{2},\;\;ab=-\frac{3}{2}$$

$\displaystyle{a=-\frac{5}{4}-t,\;b=-\frac{5}{4}+t}$라고 하자.

$$\bigg(-\frac{5}{4}-t\bigg)\bigg(-\frac{5}{4}+t\bigg)=-\frac{3}{2}$$

$$\frac{25}{16}-t^2=-\frac{3}{2}$$

$$t^2= \frac{25}{16}+\frac{3}{2}=\frac{49}{16}$$

$$t=\pm\frac{7}{4}$$

$$a=-\frac{5}{4}-\frac{7}{4}=-3,\;\;b=-\frac{5}{4}+\frac{7}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$$

$$\begin{split}2x^2 -5x-3&=2(x-3)\bigg(x+\frac{1}{2}\bigg)\\&=(x-3)(2x+1)\end{split}$$

첫 번째 방법 4.1도 가능하다.

$-3$의 약수 가운데 $2\times 3^2 -5\times 3 -3=0$인 $x=3$을 먼저 찾는다.

$2x^2-5x-3=(x-3)(ax+b)$인 $a=2,\,b=1$을 찾는 일은 아주 쉽다.

중학교 수준에 나오는 문제는 대부분 해결할 수 있지만 두 근이 모두 정수가 아닐 때는 통하지 않는다. 따라서 방법 4.2가 더 강력한 방법이다.