인수분해를 하는 방법

앞에서 곱셈공식은 넓이 구하기로 생각하면 된다고 말했다. 이제는 인수분해를 생각해 보자. 나중에는 이차방정식의 근의 공식과 연결되는 내용이다.

$$(x+a)(x+b)=x^2 +(a+b)x+ab$$

좌변을 우변으로 만드는 과정은 '전개'이고 우변을 좌변으로 만드는 과정은 '인수분해'이다.

다항식 $x^2+7x+10$을 인수분해하는 과정을 생각해 보자.

아래에 항등식에서 $a,b$를 구하면 된다. 

$$x^2+7x+10=(x+a)(x+b)$$

정리하면 $$a+b=7\tag{1}$$

$$ab=10\tag{2}$$이다.

상수항을 인수분해

보통은 두 수를 곱해서 10이 되는 경우를 모두 찾고 더한 값이 7이 되는 경우를 고른다. 정리하면 상수항을 인수분해한 경우를 찾는다.

$$1\times 10,\;\;2\times 5,\;\;-1\times(-10).\;\;-2\times(-5)$$

이 가운데 합이 $2+5=7$인 $2,5$를 골라 내는 방법이다.

모든 교과서에 나오는 방법이다. 그런데 상수항이 약수가 많은 정수라면 조금 번거롭다. 생각보다 쉽게 익히지 못하는 학생들이 많다. 인수분해를 하지 못하면 결국 수학을 포기하게 된다. 

산술 평균을 이용

다른 방식으로 두 수를 찾는 방법을 소개한다.

(1)에서 합이 $7$인 두 수는 평균이 $7/2$이다. 따라서 두 수는 $7/2-t,\;\;7/2+t$로 놓을 수 있다. 순서는 상관없다.

(2)에 대입하여 $t$를 구하자.

$$\bigg(\frac{7}{2}-t\bigg)\bigg(\frac{7}{2}+t\bigg)=10$$

$$\frac{49}{4}-t^2=10$$

$$t^2=\frac{9}{4}$$

$$t=\pm\frac{3}{2}$$

$$a=\frac{7}{2}-\frac{3}{2}=2,\;\;b=\frac{7}{2}+\frac{3}{2}=5$$

교과서에 나오는 방법보다 훨씬 복잡해 보이지만 보기보다 아주 강력하고 좋은 방법이다. 약수가 많은 상수항을 가진 경우도 바로 찾을 수 있다. 굳이 근의 공식을 외우지 않아도 근을 쉽게 구할 수 있게 해 준다. 예를 하나 더 들어보자.

$$x^2-4x-12$$

평균이 $-2$이므로 두 수를 $-2+t,\;\;-2-t$로 놓고 $(-2+t)(-2-t)=-12$에서 $t^2 =16$이다. 따라서 두 수는 $2,\;\;-6$이다.

$$x^2-4x-12=(x+2)(x-6)$$

https://suhak.tistory.com/1508

이차방정식 근을 구하는 방법