극좌표(polar coodinate)와 직교좌표(cartesian coodinate)

직교좌표를 극좌표로

직교좌표(cartesian coodinate)는 우리가 잘 알고 있는 `x,y`축으로 이루어진 데카르트가 생각한 좌표계이다.

이를 원점에서 떨어진 거리 ` r `과 동경이 ` x `축 양의방향과 이루는 각 ` \theta `로 바꾼 좌표계가 극좌표(polar coodinate)다.

그림과 같이 두 좌표계 사이에 일대일 대응이 있다.

$$ f:(x,y) \rightarrow (r, \theta) $$

직교좌표에서는 복잡한 방정식으로 나타나는 도형이 극좌표로 나타내면 매우 간단한 방정식으로 표현되기도 한다.

보기를 들면 반지름이 1인 원 위에 있는 점은 각에 관계없이 거리가 항상 1이므로 $$ r(\theta)=1 $$로 나타낼 수 있다.

바깥고리 위키백과 극좌표계

복소수의 극형식

아래 그림과 같이 실수축과 허수축을 가진 복소평면(가우스평면)에 있는 복소수도 두 가지 방법으로 나타낼 수 있다.

$$z=a+bi=r(\cos \varphi +i \sin\varphi)$$

오른쪽이 극형식이다.

여기서 ` r `은 크기(absolute value (or modulus or magnitude) ) `\varphi`는 편각( argument )이다.

$$ r=|z|=\sqrt{a^2 +b^2 }$$

$$ \varphi=arg(z) $$

 이제 두 복소수 $z_1=r_1(\cos \alpha +i \sin\alpha),\;z_2=r_2(\cos \beta +i \sin\beta)$의 곱셈을 극형식으로 표현해 보자.

$$z_1 z_2=r_1 r_2(\cos \alpha +i \sin\alpha)(\cos \beta +i \sin\beta)$$

$$\;\;\;\;=r_1 r_2(\cos \alpha \cos \beta -\sin\alpha \sin\beta+i (\sin\alpha \cos \beta +\cos\alpha \sin\beta))$$

$$\therefore\;\;z_1 z_2=r_1 r_2(\cos (\alpha +\beta)+i \sin (\alpha +\beta))$$

삼각함수의 덧셈정리를 알고 있다면 이제 복소수를 아주 쉽게 다룰 수 있게 된 것이다.

다음을 극형식으로 고쳐서 계산해보자.

1. $\displaystyle{(1+i)^{2014}}$

2. $\displaystyle{\bigg(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt3}{2}i\bigg)^{2014}}$