삼수선의 정리

수직선 세우기

피라미드를 세운 사람들은 어떻게 평면에 수직인 직선을 찾아냈을까? 아마 두 개의 직각삼각형을 맞대 찾지 않았을까? 그들은 경험에 따라 평면 위 두 직선과 수직인 직선은 평면 위 다른 모든 직선과 수직이 된다고 생각했을 것이다.

공간도형과 좌표는 학생들이 많이 어려워하는 단원 가운데 하나이다. 공간벡터를 공부하기 위해서는 2차원 평면을 넘어 3차원 공간으로 이해해야 한다. 기하학의 시작은 역시나 점, 선, 면이다. 점, 선, 면들 사이의 관계를 경험이나 직관이 아닌 증명으로 이해하는 일이 필요하다.

유클리드 원론에는 정의가 스물 셋이 있다. 단 정의 스물 셋과 공리 다섯으로 넓디 넓은 기하학의 세계를 다 보여주고 있다. 이집트가 앞선 기술을 가지고 있었지만 유클리드와 같이 증명으로 나아간 이들이 없었기에 멈추고 만 것은 아닐까?

1. 점은 부분이 없는 것이다.
2. 선은 폭이 없는 길이이다.
3. 선의 끝은 점이다.
4. 직선이란 그 위의 점이 한쪽 옆으로 간 선이다.
5. 면은 길이와 폭만 있는 것이다.
6. 면의 끝은 선이다.
7. 평면이란 그 위의 직선이 한쪽 옆으로 간 면이다.
8. 평면각이란 평면 위에 있으면서 서로 만나되 하나의 직선이 안 되도록 위치한 두 선 사이의 기울기이다.
9. 각을 만드는 선이 둘 다 직선일 때, 그 각을 직선각이라고 한다.
10. 한 직선이 다른 한 직선과 만나고 있을 때, 이웃한 각이 서로 같으면 그 각을 직각이라고 한다.

11. 둔각(뭉툭한 각, 무딘 각)은 직각보다 큰 각이다.

12. 예각(뾰족한 각)은 직각보다 작은 각이다.

13. 둘레(경계)는 어떤 것의 끝이다.

14. 도형(꼴)은 둘레나 둘레들에 둘러싸인 것이다.

15. 원이란 평면 위의 한 점에서 그 위에 있으면서 선분의 길이가 언제나 같게 되는 하나의 선 에 의하여 둘러 쌓인 평면 도형이다.
16. 그 한 점을 원의 중심이라고 한다.

17. 원의 지름은 중심을 지나고 양쪽 모두 원둘레에서 만나는 직선이다. 지름은 원을 이등분한다.

18. 지름과 지름이 자른 원둘레가 둘러싼 도형을 반원이라고 부른다. 반원의 중심은 원 중심과 같다.

19. 다각형은 직선들로 둘러싼 도형이다. 삼각형은 직선 셋으로 사각형은 직선 넷으로 둘러싼 도형이다.

20. 삼변형 가운데 세 변이 같은 것을 등변삼각형, 두 변만이 같은 것을 이등변삼각형, 세 변이 모두 같지 않은 것을 부등변 삼각형이라고 한다.

21. 직각삼각형은 직각을 가진 삼각형이다. 둔각삼각형은 둔각을 가진 삼각형이다. 예각삼각형은 세 각이 모두 예각인 삼각형이다.

22. 정사각형은 변이 모두 같고 각이 모두 직각인 사각형이다. 직사각형은 각이 모두 직각인 사각형이다. 마름모는 변이 모두 같은 사각형이다. 평행사변형은 마주 보는 변들이 서로 평행한 사각형이다. 이들 이외의 사각형들을 부등변 사각형이라 부른다.

23. 평행선이란 같은 평면 위에 있으면서 양쪽을 아무리 연장하여도 어느 방향에서도 만나지 않는 직선이다.

 

7을 보면 평면은 직선 하나로 결정되지 않는다. 여기서 아래와 같이 평면을 정하는 조건을 생각할 수 있다. 힐베르트 공리

1) 한 직선 위에 있지 않은 서로 다른 세점.
2) 한 직선과 그 위에 있지 않은 한점
3) 한 점에서 만나는 두 직선
4) 평행한 두 직선

공간에선 두 직선이 이루는 위치 관계가 셋이 있다.

1) 한 점에서 만난다.
2) 한 평면에 있고 만나지 않는다. (평행하다)
2) 다른 평면에 있고 만나지 않는다. (꼬인 위치)

공간에서 두 직선이 이루는 각은 1),2)의 경우(두 직선이 같은 평면에 있다.)는 평면각으로 하고 3) 꼬인 위치라면 다른 평면에 있으므로 새롭게 정의해야 한다. 둘 가운데 어느 하나를 평행이동하여 만나도록 했을 때 그 둘 사이의 평면각으로 정의하자. 공간도형을 집합 기호를 써서 나타내기로 하자.

두 평면 $\alpha, \beta$이 이루는 위치 관계

1) 만난다.(한 직선을 공유) $\alpha \cap \beta={l}$
2) 만나지 않는다. (평행) $\alpha \cap \beta =\phi$

평면 $\alpha$와 직선 $l$ 이루는 위치 관계

1) 평면 위에 있다. $l \subset \alpha $
2) 만난다.(한 점을 공유) $\alpha \cap \beta=\{A\}$
3) 만나지 않는다. (평행) $\alpha \cap \beta =\phi$

삼수선의 정리

이제 삼수선의 정리를 공부할 준비가 되었다.

$l$이 평면 $\alpha$ 위 모든 직선과 수직이면 직선과 평면이 서로 수직이라고 하고 $\alpha\bot l$로 쓴다. 이는 어떻게 보일까? 경험으로 알 수 있듯이 평면 위에 한 점에서 만나는 직선 둘을 골라서 수직임을 보이면 된다. 평면이 2차원임을 생각하면 쉽게 이해된다.

증명보기

직선 $l$이 평면 $\alpha$ 위에 있고 점 $O$에서 만나는 서로 다른 두 직선 $m,n$과 수직이라고 하자.

평면 위 모든 직선은 점 $O$를 지나도록 평행이동할 수 있다. 따라서 직선 $l$을 평행이동하여 점 $O$를 지나도록 하면 점 $O$를 지나는 임의의 직선$c$와 직선 $l$이 수직임을 보이면 된다.

이제 직선 $l$위에 $\overline{OP}=\overline{OP'}$가 되도록 두 점 $P,P'$를 잡는다.

또, 세 직선 $m,n,c$과 각각 $A,B,C$에서 만나고 점 $O$를 지나지 않는 한 직선을 잡는다.

$\overline{AP}=\overline{AP'}, \overline{BP}=\overline{BP'}$, $\overline{AB}$는 공통
$$\therefore \bigtriangleup PAB \equiv \bigtriangleup P'AB$$ $$\therefore \bigtriangleup PAC \equiv \bigtriangleup P'AC$$ $\bigtriangleup PP'C$ 는 이등변 삼각형이다.
$$l\bot c$$
$$\therefore l\bot \alpha$$

■

오른쪽 그림과 같이 평면 위에 있지 않은 한 점 $P$에서 평면 $\alpha$에 내린 수선의 발을 $O$라 하고, 평면 $\alpha$위에 있고 점 $O$를 지나지 않는 임의의 한 직선을 $l$이라고 하자.

 

 

이때, 점 $O$에서 직선 $l$에 내린 수선의 발을 $A$라고 하면, $\overline{PA}$는 직선 $l$과 수직이 됨을 알아보자.

$\overline{PO}$는 평면 $\alpha$와 수직이므로 평면 위의 임의의 직선과도 수직이다.

$ \therefore \overline{PO}\bot l$

또, $ \overline{OA}\bot l$이므로 $l$은 $\overline{PA}$와 $\overline{PO}$를 포함하는 평면 $POA$와 수직이다.

따라서 직선 $l$은 평면 $POA$위에 있는 모든 직선과 수직이므로

$l\bot \overline{PA}$이다.■

이 정리를 삼수선의 정리라고 한다.

점 $P$를 평면 $\alpha$ 밖의 점, $l$ 을 평면 $\alpha$ 위의 직선이라 할 때,
① $P$로부터 평면 $\alpha$에 내린 수선을 $\overline{PO}$라 하고, $O$로부터 직선 $l$에 내린 수선을 $\overline{OA}$라 하면, $\overline{PA}\bot l$이다.
② $P$로부터 $\alpha$와 $l$에 내린 수선의 발을 각각 $O,A$라 하면 $\overline{OA} \perp l$이다.
③ $P$로부터 직선 $l$에 내린 수선을 $\overline{PA}$, $\alpha$ 위에서 $A$를 지나고 $l$에 수직인 직선을 그어 $P$로부터 이 직선에 수선 $PO$를 내리면 $\overline{PO} \perp \alpha$ 이다.

이들을 증명하는 길은 위에 보인대로 먼저 직선 $l\bot$평면 $POA$임을 증명하면 된다. 직선과 평면이 수직임을 보이는 것은 평면 위 서로 다른 두 직선과 직선이 수직임을 보이면 된다.

$\overline{PA}\bot l$, $\overline{PO}\bot l$ 이면 평면$POA\bot l$이다. 이를 공식처럼 써도 좋다.

 

참고

한 점에서 만나는 두 직선은 같은 평면에 있다.

자명해 보이는 명제이지만 공리에 있지 않으므로 증명해야 한다. 이 정리는 유클리는 원론 11권에 두 번째 명제로 나온다.( Euclid's Elements) 당연하게도 이 명제를 증명하기 위해서는 먼저 아래와 같은 명제 1을 증명해야 한다.

Proposition 1

A part of a straight line cannot be in the plane of reference and a part in plane more elevated.

직선의 부분이 어떤 평면에 놓여있고 다른 부분은 떠 있을 수 없다.

증명

 

귀류법으로 증명하자.

그림과 같이 직선 $ABC$가 $\overline{AB}$는 한 평면에 있고  $\overline{BC}$는 평면보다 떠 있다고 하자.

 $\overline{AB}$를 늘여서 직선 $ABD$를 만들 수 있다. (공준 2)

이제 점 $B$를 중심,  $\overline{AB}$를 반지름으로 하는 원을 그리자.(공준 3)

이 원은  $\overline{AB}$를 공유하는 서로 다른 두 개의 지름을 가진다. 원 둘레를 서로 다르게 나누는 지름이 있을 수 없으므로 모순이다.(정의 17) ■

Proposition 2

 If two straight lines cut one another, then they lie in one plane; and every triangle lies in one plane.

두 직선이 서로 만나면 두 직선은 한 평면에 있다. 모든 삼각형은 한 평면에 있다.

증명

 

직선 $AB$와 $CD$가 점 $E$에서 만난다고 하자.

귀류법으로 직선  $AB$와 $CD$가 한 평면에 있고 모든 삼각형은 한 평면에 있음을 보이겠다.

 선분 $EC$와 $EB$ 위 임의의 점 $F$, $G$에서 $CB$와 만나는 직선 $FH$, $GK$를 생각하자.

삼각형 $ECB$가 한 평면 위에 있음을 보이고자 한다.

만일 삼각형 $FCH$가 명제에 주어진 평면에 있고 삼각형 $GKB$가 다른 평면에 있다고 하면 직선 $EC$와 $EB$도 마찬가지로 서로 다른 평면에 있다.

그러나  삼각형 $ECB$의 부분인 $FCBG$가 주어진 평면에 있다면 나머지는 다른 평면에 있다. 이것은 직선 $EB$와 $EB$의 부분이 서로 다른 평면에 있다는 말과 같다. 명제 1에 모순이다.

그러므로 삼각형 $ECB$는 한 평면에 있다.

삼각형 $ECB$가 놓인 평면에 두 직선 $EC$와 $EB$가 놓여 있고 두 직선 $AB$와 $CD$도 놓여 있다.

그러므로 두 직선이 서로 만나면 두 직선은 한 평면에 있다. 모든 삼각형은 한 평면에 있다. ■