축구공과 수학
수학이야기/기하벡터 2011. 5. 4. 23:21많이 알려진 축구공에도 수학이 있다는 이야기 옮겨놓는다.
정다면체에 두 가지 정리가 있다.
1. 오일러 공식 : 모든 다면체는 꼭짓점 개수(Vertics)-모서리 개수(Edge)+면(Face)의 개수=2이다.
2. 데카르트 정리 : 모든 다면체의 외각의 총합은 이다. (외각한 점에 모여있는 다각형들의 모든 각도를 더한 값)
점 V | 선 E | 면 F | V-E+F | 한점에서의 외각 A | 외각의 총합 V × A | ||
---|---|---|---|---|---|---|---|
정사면체 | ![]() |
4 | 6 | 4 | 4-6+4=2 | ||
정육면체 | ![]() |
8 | 12 | 6 | 8-12+6=2 | ||
정팔면체 | ![]() |
6 | 12 | 8 | 6-12+8=2 | ||
정십이면체 | ![]() |
20 | 30 | 12 | 20-30+12=2 | ||
정이십면체 | ![]() |
12 | 30 | 20 | 12-30+20=2 |
그림에서 보이듯 면이 많을수록 구에 가깝다. 외각이 작을수록 더 동그랗다고 보면 된다. 그러니 축구공을 구에 가깝게 만들려면 면을 많이 늘리면 된다. 그렇다고 너무 많이 늘리면 바느질이 힘들어진다. 1970년 멕시코 월드컵에서 최초의 공인구 ‘텔스타(telstar)’는 아디다스가 내놓은 작품이다.
이 공은 우리가 축구공하면 떠올리는 바로 그 공이다. 20면체 꼭짓점을 깎아 정오각형이 되도록 하면 얻어지는 32면체다. 열두 개인 오각형은 검은 가죽 스무 개인 육각형은 흰 가죽으로 이어 붙여놓은 예쁜 점박이 축구공이 바로 텔스타이다.
외각은 이므로 구에 아주 가깝다. 축구공에 있는 꼭짓점의 개수는 과 같이 데카르트 정리로 구할 수 있다고 한다. 모르는 사람이 들으면 억지 부린다고 들리겠다. 하지만 축구공 만들기에 수학이 있는 것만은 확실하다.
하지만 아쉽게도 남아공 월드컵부터 쓰이는 자블라니는 면체가 아니라고 한다.
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