축구공과 수학::::수학과 사는 이야기

축구공과 수학

수학이야기/기하벡터 2011. 5. 4. 23:21
반응형

많이 알려진 축구공에도 수학이 있다는 이야기 옮겨놓는다.

정다면체에 두 가지 정리가 있다.

1. 오일러 공식 : 모든 다면체는 꼭짓점 개수(Vertics)-모서리 개수(Edge)+면(Face)의 개수=2이다.

2. 데카르트 정리 : 모든 다면체의 외각의 총합은 4π이다. (외각=2π한 점에 모여있는 다각형들의 모든 각도를 더한 값)

  V E F V-E+F 한점에서의 외각 A 외각의 총합 V × A
정사면체 Tetrahedron 4 6 4 4-6+4=2 2π3×π3=π 4×π=4π
정육면체 Hexahedron (cube) 8 12 6 8-12+6=2 2π3×π2=π2 8×π2=4π
정팔면체 Octahedron 6 12 8 6-12+8=2 2π4×π3=2π3 6×2π3=4π
정십이면체 Dodecahedron 20 30 12 20-30+12=2 2π3×3π5=π5 20×π5=4π
정이십면체 Icosahedron 12 30 20 12-30+20=2 2π5×π3=π3 12×π3=4π

그림에서 보이듯 면이 많을수록 구에 가깝다. 외각이 작을수록 더 동그랗다고 보면 된다. 그러니 축구공을 구에 가깝게 만들려면 면을 많이 늘리면 된다. 그렇다고 너무 많이 늘리면 바느질이 힘들어진다. 1970년 멕시코 월드컵에서 최초의 공인구 ‘텔스타(telstar)’는 아디다스가 내놓은 작품이다.

이 공은 우리가 축구공하면 떠올리는 바로 그 공이다. 20면체 꼭짓점을 깎아 정오각형이 되도록 하면 얻어지는 32면체다. 열두 개인 오각형은 검은 가죽 스무 개인 육각형은 흰 가죽으로 이어 붙여놓은 예쁜 점박이 축구공이 바로 텔스타이다.

외각은 2π23π235π=115π이므로 구에 아주 가깝다. 축구공에 있는 꼭짓점의 개수는 4π115π=60과 같이 데카르트 정리로 구할 수 있다고 한다. 모르는 사람이 들으면 억지 부린다고 들리겠다. 하지만 축구공 만들기에 수학이 있는 것만은 확실하다.

하지만 아쉽게도 남아공 월드컵부터 쓰이는 자블라니는 32면체가 아니라고 한다.

 

반응형

수학이야기님의
글이 좋았다면 응원을 보내주세요!