축구공과 수학

많이 알려진 축구공에도 수학이 있다는 이야기 옮겨놓는다.

정다면체에 두 가지 정리가 있다.

1. 오일러 공식 : 모든 다면체는 꼭짓점 개수(Vertics)-모서리 개수(Edge)+면(Face)의 개수=2이다.

2. 데카르트 정리 : 모든 다면체의 외각의 총합은 $4\pi$이다. (외각$=2\pi- $한 점에 모여있는 다각형들의 모든 각도를 더한 값)

		점 V	선 E	면 F	V-E+F	한점에서의 외각 A	외각의 총합 V × A
정사면체		4	6	4	4-6+4=2	$\displaystyle{2\pi-3\times \frac{\pi}{3}=\pi}$	$4\times \pi=4\pi$
정육면체		8	12	6	8-12+6=2	$\displaystyle{2\pi-3\times \frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}}$	$\displaystyle{8\times\frac{\pi}{2}=4\pi}$
정팔면체		6	12	8	6-12+8=2	$\displaystyle{2\pi-4\times \frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}}$	$\displaystyle{6\times\frac{2\pi}{3}=4\pi}$
정십이면체		20	30	12	20-30+12=2	$\displaystyle{2\pi-3\times \frac{3\pi}{5}=\frac{\pi}{5}}$	$\displaystyle{20\times\frac{\pi}{5}=4\pi}$
정이십면체		12	30	20	12-30+20=2	$\displaystyle{2\pi-5\times \frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{3}}$	$\displaystyle{12\times\frac{\pi}{3}=4\pi}$

그림에서 보이듯 면이 많을수록 구에 가깝다. 외각이 작을수록 더 동그랗다고 보면 된다. 그러니 축구공을 구에 가깝게 만들려면 면을 많이 늘리면 된다. 그렇다고 너무 많이 늘리면 바느질이 힘들어진다. 1970년 멕시코 월드컵에서 최초의 공인구 ‘텔스타(telstar)’는 아디다스가 내놓은 작품이다.

이 공은 우리가 축구공하면 떠올리는 바로 그 공이다. 20면체 꼭짓점을 깎아 정오각형이 되도록 하면 얻어지는 32면체다. 열두 개인 오각형은 검은 가죽 스무 개인 육각형은 흰 가죽으로 이어 붙여놓은 예쁜 점박이 축구공이 바로 텔스타이다.

외각은 $\displaystyle{ 2\pi-\frac{2}{3}\pi\cdot 2-\frac{3}{5}\pi =\frac{1}{15}\pi }$이므로 구에 아주 가깝다. 축구공에 있는 꼭짓점의 개수는 $\displaystyle{ \frac{4\pi }{ \frac{1}{15}\pi}=60 }$과 같이 데카르트 정리로 구할 수 있다고 한다. 모르는 사람이 들으면 억지 부린다고 들리겠다. 하지만 축구공 만들기에 수학이 있는 것만은 확실하다.

하지만 아쉽게도 남아공 월드컵부터 쓰이는 자블라니는 $32$면체가 아니라고 한다.