2014학년도 수능 수학B형 29번 풀이

늘 그렇듯이 기하와 벡터 문제는 좀 어렵습니다. 이런 문제는 3차원이 아닌 2차원으로 풀어내려고 힘쓰는 것이 도움이 됩니다.

위에 있는 그림을 $yz$평면만 보이는 그림으로 다시 그렸습니다. 두 평면 $y=4$와 $y+\sqrt3 z+8=0$는 선으로 나타납니다. 당연히 구는 원으로 그렸습니다. 입체감이 없지만 오히려 이런 그림이 생각하기 더 편합니다.

정사영 문제이므로 $cos$을 써야 할 것입니다. 평면을 평행이동하여 두 점 $P_1 ,P_2$가 점 $P$와 일치하게 하였습니다. 두 평면이 이루는 각 $\theta$는 법선벡터로 구합니다.

$$cos\theta=\frac{(0,1,0)\cdot (0,1,\sqrt3 )}{|(0,1,0)||(0,1,\sqrt3 )|}=\frac{1}{2}$$

$$\therefore \theta=\frac{\pi}{3}$$

평행이동한 평면을 남기고 지워보겠습니다.

이제 주어진 식을 바꿔봅니다.

$$2|\overrightarrow{PQ}|^2 -|\overrightarrow{P_1 Q_1}|^2 -|\overrightarrow{P_2 Q_2}|^2$$

$$=|\overrightarrow{PQ}|^2 -|\overrightarrow{P_1 Q_1}|^2 +|\overrightarrow{PQ}|^2 -|\overrightarrow{P_2 Q_2}|^2$$

$$=|\overrightarrow{PQ}|^2 -|\overrightarrow{P Q_1}|^2 +|\overrightarrow{PQ}|^2 -|\overrightarrow{P Q_2}|^2$$

$$=|\overrightarrow{QQ_1}|^2 +|\overrightarrow{Q Q_2}|^2$$

아직 네 점 $P, Q, Q_1, Q_2$가 같은 평면 위에 있는 것은 아닙니다.

주어진 값이 최댓값을 가질 때는 그림과 같이 $\overline{PQ}$가 구의 지름이 될 때입니다. 이제 네 점 $P, Q, Q_1, Q_2$은 모두 같은 평면 위에 있고 모두 같은 원 위에 있습니다. 문제는 2차원 평면 문제로 바뀌었습니다.

$\angle Q_1 P Q_2$ 두 평면이 이루는 각입니다.

$$|\overrightarrow{QQ_1}|^2 +|\overrightarrow{Q Q_2}|^2 =(4\sin\alpha)^2 +(4\sin\beta)^2 =16(\sin^2 \alpha+\sin^2 \beta)$$

$$\sin^2 \alpha+\sin^2 \beta=\frac{1}{2}(1-\cos 2\alpha)+\frac{1}{2}(1-\cos 2\beta)=\frac{1}{2}(2-\cos 2\alpha-\cos 2\beta)$$

$$\cos 2\alpha+\cos 2\beta=2\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)=-\cos(\alpha-\beta) (\because\alpha+\beta=\frac{2\pi}{3})$$

이므로 주어진 식을 다시 정리하면

$$|\overrightarrow{QQ_1}|^2 +|\overrightarrow{Q Q_2}|^2 =8\{2+\cos(\alpha-\beta)\}$$

$$-\frac{2\pi}{3} \leq \alpha-\beta \leq \frac{2\pi}{3}$$

이므로 $\alpha=\beta$일 때, 최댓값 $24$를 가진다.