2014학년도 수능 수학B형 15번 풀이

빠짐 없이자주 나오는 부분입니다. 무한등비급수 문제가 분명하므로 첫째항과 공비를 구하면 됩니다. 

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먼저 첫째항은 구하기 매우 쉽습니다. 중심각이 $\frac{\pi}{2}$인 부채꼴에서 삼각형 넓이를 빼면 됩니다.

$$\displaystyle{S_1 =2\bigg(\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}\bigg)=\frac{\pi}{2}-1}$$

이제 공비를 구하기 위해 그림과 같이 좌표축을 적당히 잡습니다. 먼저 점 $A_2$의 좌표를 $(x_1, y_2)$로 놓습니다. 직선 $B_1 M_1$과 호 $M_1 C_1$의 방정식은 각각 $$y=x+1, \quad (x-1)^2 +(y-1)^2 =1$$입니다.

 

이제 점 $A_2$를 $(y_1 -1, y_1)$로 놓으면 $\overline{A_2 B_2}:\overline{A_2 D_2}=1:2$이므로 점 $D_2$는 $(3y_1 -1 , y_1)$로 놓을 수 있다.

이를 원의 방정식에 대입하면

$$(3y_1 -2)^2 +(y_1 -1)^2 =1$$

이고 정리하면

$$5y_1 ^2 -7y_1 +2=0$$

$$y_1 =\frac{2}{5} (\because y_1 < 1)$$

따라서 닮음비는 $$\overline{A_1 B_1}:\overline{A_2 B_2}=1: \frac{2}{5}$$이므로

공비는

$$r=\frac{R_2}{R_1}=\frac{4}{25}$$

$$\displaystyle{\lim_{n \rightarrow \infty}S_n = \frac{\frac{\pi}{2}-1}{1-\frac{4}{25}}=\frac{25}{21}\bigg(\frac{\pi}{2}-1\bigg)}$$