2017학년도 6월 모의평가 수리 가형 30번 풀이

풀이)) 쉽지 않은 문제다. 먼저 가)를 보니 $y$축에 대칭인 짝수 함수다.

나)는 항등식이므로 적당한 수를 대입하자.

$$x=0,\quad\int_{0}^{a} f(t) dt= \sin \big( \frac{\pi}{3} \big ) $$

$$x=-a ,\quad\int_{-a}^{0} f(t) dt= \sin \big( -a+\frac{\pi}{3} \big ) $$

에서 가)에 의해

$$\int_{0}^{a} f(t) dt=\int_{-a}^{0} f(t) dt$$

이므로

$$\sin \big( \frac{\pi}{3} \big )= \sin \big( -a+\frac{\pi}{3} \big ) $$이다.

따라서, $\displaystyle{a=\frac{5\pi}{3} }$이다.

주어진 닫힌 구간 $\displaystyle{\big[0,\frac{a}{2}\big]}$을 활용하기 위해 $\displaystyle{x= -\frac{a}{2} }$를 대입하자.

$$\displaystyle{\int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} f(t) dt= \sin \big( \frac{a}{2}+\frac{\pi}{3} \big ) }$$

$$\displaystyle{2\int_{0}^{\frac{a}{2}} f(t) dt= \sin \big( -\frac{a}{2}+\frac{\pi}{3} \big ) }$$

$$\displaystyle{2\int_{0}^{\frac{5\pi}{6}} [b\cos(3t)+c\cos(5t) ]dt= \sin \big( -\frac{5\pi}{6}+\frac{\pi}{3} \big ) }$$

이를 적분하여 정리하면 $10b+3c=-15$를 얻는다. 여기까지는 쉽다.

문제는 그 다음. 이제 또 다른 $b,c$가 들어간 식을 찾아야 한다. 

항등식은 미분해도 항등식이니까  나)를 미분해 보았다.

$$f\big(x+\frac{5\pi}{3}\big)-f(x)=\cos \big(x+\frac{\pi}{3}\big)$$

이 식에 뭔가 대입하면 얻을 수 있을 것으로 기대했는데 뾰족한 방법이 없다.

내친김에 한 번 더 미분하자.

$$f^{\prime}\big(x+\frac{5\pi}{3}\big)-f^{\prime}(x)=-\sin \big(x+\frac{\pi}{3}\big)$$

이제, $\displaystyle{x= -\frac{5\pi}{6} }$ 를 대입하자.

$$f^{\prime}\big(-\frac{5\pi}{6}+\frac{5\pi}{3}\big)-f^{\prime}\big(-\frac{5\pi}{6}\big)=-\sin \big(-\frac{5\pi}{6}+\frac{\pi}{3}\big)$$

$$f^{\prime}\big(\frac{5\pi}{6}\big)-f^{\prime}\big(-\frac{5\pi}{6}\big)=-\sin \big(-\frac{\pi}{2}\big)$$

가)를 미분하면 $f^{\prime}(x)=-f^{\prime}(-x)$이므로

$$2f^{\prime}\big(\frac{5\pi}{6}\big)=1$$

$$2f^{\prime}\big(\frac{5\pi}{6}\big)=2\big(-3b-5c\cdot \frac{1}{2}\big)=1$$

정리하면 $-6b-5c=1$을 얻는다. 위에서 구한 식과 연립하면

$$b=-\frac{9}{4} ,\quad c=\frac{5}{2}$$

따라서 $\displaystyle{abc=\frac{5\pi}{3}\big(-\frac{9}{4} \big)\cdot \frac{5}{2}=-\frac{75}{8}\pi}$

$\displaystyle{\frac{q}{p}=\frac{75}{8}}$이다.

$p+q=83$