2014학년도 수능 수학B형 29번 풀이

늘 그렇듯이 기하와 벡터 문제는 좀 어렵습니다. 이런 문제는 3차원이 아닌 2차원으로 풀어내려고 힘쓰는 것이 도움이 됩니다.

위에 있는 그림을 $yz$평면만 보이는 그림으로 다시 그렸습니다. 두 평면 $y=4$와 $y+\sqrt3 z+8=0$는 선으로 나타납니다. 당연히 구는 원으로 그렸습니다. 입체감이 없지만 오히려 이런 그림이 생각하기 더 편합니다.

정사영 문제이므로 $cos$을 써야 할 것입니다. 평면을 평행이동하여 두 점 $P_1 ,P_2$가 점 $P$와 일치하게 하였습니다. 두 평면이 이루는 각 $\theta$는 법선벡터로 구합니다.

$$cos\theta =\frac{(0,1,0)\cdot (0,1,\sqrt{3})}{|(0,1,0)||(0,1,\sqrt{3})|}=\frac{1}{2}$$

$$\therefore \theta =\frac{\pi }{3}$$

평행이동한 평면을 남기고 지워보겠습니다.

이제 주어진 식을 바꿔봅니다.

$$2|\overrightarrow{PQ}{|}^2-|\overrightarrow{P_1{Q}_1}{|}^2-|\overrightarrow{P_2{Q}_2}{|}^2$$

$$=|\overrightarrow{PQ}{|}^2-|\overrightarrow{P_1{Q}_1}{|}^2+|\overrightarrow{PQ}{|}^2-|\overrightarrow{P_2{Q}_2}{|}^2$$

$$=|\overrightarrow{PQ}{|}^2-|\overrightarrow{P{Q}_1}{|}^2+|\overrightarrow{PQ}{|}^2-|\overrightarrow{P{Q}_2}{|}^2$$

$$=|\overrightarrow{Q{Q}_1}{|}^2+|\overrightarrow{Q{Q}_2}{|}^2$$

아직 네 점 $P, Q, Q_1, Q_2$가 같은 평면 위에 있는 것은 아닙니다.

주어진 값이 최댓값을 가질 때는 그림과 같이 $\overline{PQ}$가 구의 지름이 될 때입니다. 이제 네 점 $P, Q, Q_1, Q_2$은 모두 같은 평면 위에 있고 모두 같은 원 위에 있습니다. 문제는 2차원 평면 문제로 바뀌었습니다.

$\angle Q_1 P Q_2$ 두 평면이 이루는 각입니다.

$$|\overrightarrow{Q{Q}_1}{|}^2+|\overrightarrow{Q{Q}_2}{|}^2=(4\sin \alpha {)}^2+(4\sin \beta {)}^2=16({\sin }^2\alpha +{\sin }^2\beta )$$

$${\sin }^2\alpha +{\sin }^2\beta =\frac{1}{2}(1-\cos 2\alpha )+\frac{1}{2}(1-\cos 2\beta )=\frac{1}{2}(2-\cos 2\alpha -\cos 2\beta )$$

$$\cos 2\alpha +\cos 2\beta =2\cos (\alpha +\beta )\cos (\alpha -\beta )=-\cos (\alpha -\beta )(\because \alpha +\beta =\frac{2\pi }{3})$$

이므로 주어진 식을 다시 정리하면

$$|\overrightarrow{Q{Q}_1}{|}^2+|\overrightarrow{Q{Q}_2}{|}^2=8\{2+\cos (\alpha -\beta )\}$$

$$-\frac{2\pi }{3}\le \alpha -\beta \le \frac{2\pi }{3}$$

이므로 $\alpha=\beta$일 때, 최댓값 $24$를 가진다.