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2014학년도 수능 수학B형 29번 풀이::::수학과 사는 이야기

2014학년도 수능 수학B형 29번 풀이

수학이야기/수학능력시험 2013. 11. 9. 12:44
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늘 그렇듯이 기하와 벡터 문제는 좀 어렵습니다. 이런 문제는 3차원이 아닌 2차원으로 풀어내려고 힘쓰는 것이 도움이 됩니다.

위에 있는 그림을 yz평면만 보이는 그림으로 다시 그렸습니다. 두 평면 y=4y+3z+8=0는 선으로 나타납니다. 당연히 구는 원으로 그렸습니다. 입체감이 없지만 오히려 이런 그림이 생각하기 더 편합니다.


정사영 문제이므로 cos을 써야 할 것입니다. 평면을 평행이동하여 두 점 P1,P2가 점 P와 일치하게 하였습니다. 두 평면이 이루는 각 θ는 법선벡터로 구합니다.

cosθ=(0,1,0)(0,1,3)|(0,1,0)||(0,1,3)|=12

θ=π3


평행이동한 평면을 남기고 지워보겠습니다.

이제 주어진 식을 바꿔봅니다.

2|PQ|2|P1Q1|2|P2Q2|2

=|PQ|2|P1Q1|2+|PQ|2|P2Q2|2

=|PQ|2|PQ1|2+|PQ|2|PQ2|2

=|QQ1|2+|QQ2|2

아직 네 점 P,Q,Q1,Q2가 같은 평면 위에 있는 것은 아닙니다.

주어진 값이 최댓값을 가질 때는 그림과 같이 ¯PQ가 구의 지름이 될 때입니다. 이제 네 점 P,Q,Q1,Q2은 모두 같은 평면 위에 있고 모두 같은 원 위에 있습니다. 문제는 2차원 평면 문제로 바뀌었습니다.

Q1PQ2 두 평면이 이루는 각입니다.

|QQ1|2+|QQ2|2=(4sinα)2+(4sinβ)2=16(sin2α+sin2β)

sin2α+sin2β=12(1cos2α)+12(1cos2β)=12(2cos2αcos2β)

cos2α+cos2β=2cos(α+β)cos(αβ)=cos(αβ)(α+β=2π3)

이므로 주어진 식을 다시 정리하면

|QQ1|2+|QQ2|2=8{2+cos(αβ)}

2π3αβ2π3

이므로 α=β일 때, 최댓값 24를 가진다.

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