등비수열

커다란 종이를 계속하여 반으로 접을 수 있다고 하자. 두께가 0.1mm라고 했을 때, 42번 접었다면 두께가 얼마인지 계산하시오.

한 번 접을 때마다 두께는 2배가 되므로 아래와 같이 적을 수 있다.

횟수	$$0$$	$$1$$	$$2$$	$$3$$	$$\cdots$$	$$42$$
두께	$$ \frac{1}{10}$$	$$\frac{2}{10}$$	$$\frac{2^2}{10}$$	$$\frac{2^3}{10}$$	$$\cdots$$	$$\frac{2^{42}}{10}$$

대충 계산해 보자.

$2^{10}=1024$인데 $2^{10} \approx 10^3$으로 계산하자. $2^{42}=(2^{10})^4\times 4\approx 4\times 10^{12}$이다.

따라서 $$\frac{2^{42}}{10}\approx 4\times 10^{11}$$

$1km=10^3m=10^5cm=10^6 mm$이므로 $4\times 10^5 km$이다. 대충 달까지 거리와 비슷하다.

이와 같이 어떤 양이 매우 빠르게 증가할 때 흔히 기하급수적으로 증가한다고 말한다. 이때 나오는 기하급수가 곧 등비수열이다.

등비수열이란?

위에 등장하는 수열과 같이 첫째항부터 일정한 수를 곱하여 만든 수열을 등비수열이라고 하고 그 일정한 수를 공비라고 한다.

$$\frac{1}{10},\;\;\frac{2}{10},\;\;\frac{2^2}{10},\;\; \cdots,\;\;$$

일반적으로 공비가 $r$인 등비수열 $\{a_n\}$에서 제$n$항에 공비를 곱하면 제($n+1$)항이 된다.

$$a_{n+1}=ra_{n}\tag{1}$$

비는 영어로 ratio라서 공비를 $r$로 적는데 이웃한 두 항의 비가 일정하다는 의미로 등비수열이라고 부르는 것이다. 이것은 아래와 같이 표현할 수도 있다.

$$\frac{a_{n+1}}{a_n}=r\tag{2}$$

일반항 

첫째항을 $a$, 공비는  $r(\not=0)$이라고 하면 아래와 같이 쉽게 일반항을 구할 수 있다.

$$\begin{split}a_1=&a\\a_2=&a_1r=ar\\a_3=&a_2r=(ar)r=ar^2\\a_4=&a_3r=(ar^2)r=ar^3\\&\vdots \\a_n=&ar^{n-1}\end{split}$$

공비가 $0$인 수열은 굳이 생각할 필요가 없다.

등비수열의 합

공식을 만드는 원리를 이해하면 훨씬 기억하기 쉽다.

$$S_n = a + ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-2} + ar^{n-1}\tag{3}$$

(1)에 등비수열의 핵심이 있다. 어떤 항에 공비를 곱하면 바로 다음에 있는 항이 된다는 것이다. 따라서 (3)의 양변에 공비 $r$을 곱하면 아래와 같은 식을 얻을 수 있다. 

$$rS_n = \quad ar + ar^2 + ar^3 + \dots + ar^{n-1}+ar^n\tag{4}$$

(3)-(4)으로 가운데 있는 항을 모두 소거할 수 있다.

$$(1-r)S_n=a-ar^n=a(1-r^n)\tag{5}$$

$r > 1$ 일 때,

$$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$$

$r< 1$ 일 때,

$$S_n = \frac{a(r^n-1)}{r-1}$$

굳이 구별할 필요 없지만 따로 적은 까닭은 아무래도 분모가 양수라야 계산이 편하기 때문이다.

공비 $r = 1$이라면 굳이 등비수열이라고 생각할 필요가 없다. 그냥 $$S_n=\overbrace{a+a+a+\cdots+a}^{n개}=na$$

예제 $S=1+2+2^2 +2^3+\cdots+2^9$의 값을 구하시오.

$$\begin{split}S=&1+2+2^2 +2^3+\cdots+2^9\\2S=&\quad 2+2^2 +2^3+\cdots+2^9+2^{10}\end{split}$$

$$S=2^{10}-1=1023$$

첫째항이 $1$이 아닐 때는 아래와 같이 마지막에 첫째항만 곱하면 끝난다. 

예제 $T=3+3\times 2+3\times 2^2 +3\times 2^3+\cdots+3\times 2^9$의 값을 구하시오.

$$\begin{split}T=&3(1+2+2^2 +2^3+\cdots+2^9)\\2T=&3(\quad 2+2^2 +2^3+\cdots+2^9+2^{10})\end{split}$$

$$T=3(2^{10}-1)=3\times 1023 =3069$$

$$T=3S$$

결국 아래와 같은 곱셈공식만 알면 된다.

$$(1-x)(1+x+x^2+x^3+\cdots+x^{n-1})=1-x^n\tag{*}$$

아래와 같이 정리할 수도 있다.

$$x\not=1\Rightarrow 1+x+x^2+x^3+\cdots+x^{n-1}=\frac{1-x^n}{1-x}\tag{**}$$

적립금의 원리합계

적금처럼 정해진 기간 마다  일정한 금액을 쌓는 것을 적립한다고 한다. 이때 원금과 이자의 합을 원리합계라고 한다. 이자를 계산하는 방식에는 단리와 복리가 있는데 등비수열을 이용하여 계산하는 복리계산이 주로 출제된다. (단리는 원금에만 이자가 붙고 복리는 원금과 이자 모두에 이자가 붙는다.)

예시 문제를 보자.

연이율 5%이고 1년마다 복리로 매년 초에 100만 원씩 10년 동안 적립할 때, 10년 말까지 적립금의 원리합계를 구하시오.(단, $1.05^{10}=1.6$으로 계산한다.)

이자를 복리 계산할 때, 100만원이 $n$년 말 원리합계는 아래와 같이 등비수열을 이룬다.

1년 말:  $\underbrace{10^6}_{원금}+\underbrace{10^6\times 0.05}_{이자}=10^6(1+0.05)=10^6*1.05$

2년 말: $ \underbrace{10^6*1.05}_{원금}+ \underbrace{10^6*1.05\times 0.05}_{이자}=10^6*1.05(1+0.05)=10^6*1.05^2$

$\vdots$

$n$년 말: $10^6\times 1.05^n$

주어진 문제는 매년 초에 100만 원씩 납입하는 적립금 계산이다. 따라서 1회부터 10회까지 납입하는 적금이라고 생각하면 된다.

1회 적립금은 이자를 10번 계산하고 2회 적립금은 이자를 9번 계산하게 된다. 따라서 원리 합계는 등비수열의 합으로 구할 수 있다.

$$\begin{split}\underbrace{10^6*1.05}_{10회}+ \underbrace{10^6*1.05^2}_{9회} +\cdots+ \underbrace{10^6*1.05^{10}}_{1회}\\=\frac{10^6*1.05(1.05^{10}-1)}{1.05-1}\\=\frac{10^6*1.05(1.6-1)}{0.05}\\=12.6*10^6\end{split}$$

납입한 원금 합계는 1000만 원인데 이자가 260만 원이나 더해진 셈이다. $n$이 커지면 기하급수적으로 이자가 늘어나는 것이 바로 복리의 마술이다.

연금 계산

일정한 금액을 적립한 다음 정해진 때가 되면 매월 또는 매년 일정 액수를 돌려받는 금융상품에서 적립금과 연금액을 등비수열의 합을 이용하여 계산할 수 있다. 아래와 같은 연금이나 할부금 계산은 2022개정 교육과정에선 다루지 않아도 될 듯한데 맛보기로 남겨 놓는다.

적립된 일 억 원을 한꺼번에 받거나 매달 일정액을 60개월에 걸쳐 나누어 받을 수 있는 연금 상품이 있다. 두 가지 경우가 유불리가 없도록 매달 받을 수 있는 연금은 최대 얼마인지 계산하여라. (단, 월 0.5% 복리로 계산한다. $1.005^{60}=1.35$) 계산기가 필요할 것이다.

문자로 나타내야 공식을 만들기 쉽다. 따라서 적립금 $A$원, 월 이율 $r$, 매월 받는 연금 $a$원이라고 하자.

1. 적립금 $A$원을 일시불로 받아서 $n$개월 복리로 예금했을 때 원리합계

$$A(1+r)^n$$

2. $n$개월에 걸쳐 $a$원씩 나누어 받았을 때 원리합계

$$\begin{split}\underbrace{a}_{n회}+ \underbrace{a(1+r)}_{n-1회} +\cdots+ \underbrace{a(1+r)^{n-1}}_{1회}\\=\frac{a((1+r)^{n}-1)}{1+r-1}\\=\frac{a((1+r)^n-1)}{r}\end{split}$$

공정하려면 두 원리합계가 같아야 한다.

$$A(1+r)^n=\frac{a((1+r)^n-1)}{r}\tag{5}$$

$$a= \frac{Ar(1+r)^n}{((1+r)^n-1)}\tag{6}$$

$$\begin{split}a=\frac{10^8*0.005*1.005^{60}}{1.005^{60}-1}\\\approx \frac{10^8*5*10^{-3}*1.35}{0.35}\\\approx 1.93*10^6\end{split}$$