평면 채우기(tessellation)

아래와 같이 평면이나 공간을 도형으로 빈틈없이 채우는 것을 테셀레이션(tessellation) 또는 타일링으로 부른다.

 

참고 : 그림 가져온 곳 테셀레이션(http://www.mathsisfun.com/geometry/tessellation.html)

내소사 꽃살문

테셀레이션은 기본도형을 적당히 평행이동, 회전이동, 대칭이동하여 단위개체를 만들고 이를 나열하여 완성한다. 여러 가지 종류가 있는데 그 가운데 몇 가지를 알아보자.

한 가지 정다각형으로 만드는 테셀레이션(regular tessllation)

한 꼭짓점에 모이는 정다각형의 내각의 합은 $360^o$이어야 하므로 종류가 많지 않다. 정삼각형 6개, 정사각형 4개, 정육각형 3개가 모이는 테셀레이션이 있다. 아래와 같이 한점에 n-다각형이 m개 모인다면 {n,m}으로 적어서 구별한다.

여러 가지 정다각형으로 만드는 테셀레이션

두 가지 이상의 정다각형에 의하여 동일한 순서로 테셀레이션하는 것을 아르키메데스 테셀레이션(Archimedian tessllation) 또는 준정다각형 테셀레이션(semiregular tessllation)으로 부른다. 한 꼭짓점에 4각형, 6각형, 12각형이 모인 것을 기호로 (4,6,12)로 적는다. 아르키메데스 테셀레이션은 다음 조건을 만족한다.

• 정삼각형의 한 내각은 $60^ㅇ$이므로 한 꼭짓점에는 6개이하의 정다각형만 올 수 있다.
• 한 꼭짓점을 둘 이상이 둘러싸야 한다.

$(a,b,c)$의 꼴인 경우 식을 세워보자.

$3\leq a \leq b \leq c$라고 하자.

$\displaystyle{\frac{1}{3} \geq \frac{1}{a} \geq \frac{1}{b} \geq \frac{1}{c} \geq 0}$이고,

정$a$각형의 한 내각의 크기는 $\displaystyle{180^o \times \frac{(a-2)}{a}=180^o \times \bigg(1-\frac{2}{a} \bigg)}$이다.

한 점에 모이는 내각을 모두 더하면 $360^o$이라야 한다.

$$180^o\bigg(3-\frac{2}{a}-\frac{2}{b}-\frac{2}{c}\bigg)=360^o$$

$\displaystyle{\frac{1}{2}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leq \frac{3}{a} \quad \therefore 3\leq a \leq 6}$

$a=3,4,5,6$일 때, 부정방정식 $2(bc+ca+ab)=abc$를 풀면 해를 구할 수 있다.

아르키메데스 테셀레이션은 아래 그림과 같이 여덟 가지가 있다.

(3,12,12)

(4,6,12)

(4,8,8)

 

(3,4,6,4)

(3,6,3,6)

 

( 3,3,3,3,6)

(3,3,3,4,4)

(3,3,4,3,4)

참고 : http://mathworld.wolfram.com/SemiregularTessellation.html

Semiregular Tessellation -- from Wolfram MathWorld

 

듀얼 테셀레이션

cairo tessellation

참고 : http://mathworld.wolfram.com/DualTessellation.html

Dual Tessellation -- from Wolfram MathWorld

 

듀얼 테셀레이션은 어떤 테셀레이션에서 다각형의 중심을 꼭짓점으로 하여 이웃한 다각형의 중심을 이어서 만든다. 이집트 카이로에 흔하다는 카이로 테셀레이션은 아르키메데스 테셀레이션(3,3,4,3,4)의 듀얼 테셀레이션이다.

 

그 밖의 테셀레이션

오각형 테셀레이션

https://en.wikipedia.org/wiki/Pentagonal_tiling 

Pentagonal tiling - Wikipedia

에셔 테셀레이션

테셀레이션으로 널리 알려진 예술가로 에셔는 다양한 작품을 남겼다. 아래 링크에서 감상하면 된다.

https://www.mathsisfun.com/geometry/tessellation-artist.html

Tessellation Artist

 

https://suhak.tistory.com/1363

에셔 도마뱀으로 평면을 채우다

https://suhak.tistory.com/1367

에셔 따라서 테셀레이션 만들기

 

펜로즈 타일링

준결정의 수학: 펜로즈 타일링