2027학년도 6월 모평 미적분 29, 30번

해가 갈수록 모의고사 문제 풀이가 귀찮다. 이제야 지난 6월 모평 문제를 풀다가 혹시나 하는 마음에 제미나이에게 풀이를 맡겼더니 답을 뚝딱 내놓는다. 옛날에 3학년을 맡았을 때는 모의고사 문제를 꽤 열심히 풀었다. 특히 평가원 모의고사는 풀이는 없이 답만 나오기 때문에 다음날 수업 시간에 풀이를 해주기 위해서 더 열심히 풀어야 했다.

이제 수학 선생하기도 좀 편해지려나! 아니면 설 자리를 잃어버리지 않을까! 아무튼 오래 살다 보니 참으로 놀라운 광경을 본다. 문제 풀이 노예를 만난 느낌이다. 이제 그만 사람은 수학 공부할 때 복잡하고 귀찮고 어려운 문제 풀이는 기계에게 맡기고 간단하고 쉬운 문제만 풀면서 개념과 원리만 이해하면 되는 것일까 궁금하다.

암튼 지난 10년보다 앞으로 다가올 10년은 변화가 더 빠를 것이 분명하다. 그런데 아직도 우리나라 학교는 20세기에 머물러 있는 듯하여 걱정이다.

2027학년도 6월 모의평가 수학

미적분 29.

모든 항이 정수인 등차수열 $\displaystyle {a_n}$과 모든 항이 양수인 등비수열 $\displaystyle {b_n}$이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $\displaystyle a_1 = b_1$, $\displaystyle a_4 = b_2$

(나) 어떤 자연수 $\displaystyle k$에 대하여 $\displaystyle a_k = b_3$이다.

급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_n$이 수렴할 때, $\displaystyle \left| \sum_{n=1}^{\infty} \left( b_n \cos(a_n\pi) \right) \right|$의 최솟값을 $\displaystyle m$이라 하자. $\displaystyle 10 \times m$의 값을 구하시오.

### **[풀이]**

#### **1. 수열의 구조 분석 및 조건 해석**

등차수열 $\displaystyle {a_n}$의 공차를 $\displaystyle d$, 등비수열 $\displaystyle {b_n}$의 첫째항을 $\displaystyle b_1$, 공비를 $\displaystyle r$라 하자.

조건 (가)에 의해 모든 항이 양수인 등비수열이므로 $\displaystyle b_1 > 0$이고 $\displaystyle r > 0$이다. 또한 급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_n$이 수렴하므로 공비의 범위는 다음과 같다.

$$\displaystyle 0 < r < 1$$

조건 (가)의 관계식을 공차 $\displaystyle d$와 공비 $\displaystyle r$를 이용하여 나타내면 다음과 같다.

$$\displaystyle a_1 = b_1$$

$$\displaystyle a_4 = a_1 + 3d = b_2 = b_1 r \implies a_1 + 3d = a_1 r$$

조건 (나)에서 어떤 자연수 $\displaystyle k$에 대하여 $\displaystyle a_k = b_3$이므로 다음이 성립한다.

$$\displaystyle a_k = a_1 + (k-1)d = b_3 = b_1 r^2 = a_1 r^2$$

#### **2. 공비 $\displaystyle r$과 공차 $\displaystyle d$의 관계 도출**

위에서 구한 식들을 연립하여 $\displaystyle r$에 대한 식을 유도한다.

$$\displaystyle 3d = a_1(r - 1)$$

$$\displaystyle (k-1)d = a_1(r^2 - 1) = a_1(r-1)(r+1)$$

두 식의 비율을 구하면 다음과 같다.

$$\displaystyle \frac{(k-1)d}{3d} = \frac{a_1(r-1)(r+1)}{a_1(r-1)}$$

$$\displaystyle \frac{k-1}{3} = r + 1 \implies r = \frac{k-4}{3}$$

$\displaystyle 0 < r < 1$이어야 하므로 $\displaystyle k$의 범위를 구할 수 있다.

$$\displaystyle 0 < \frac{k-4}{3} < 1 \implies 4 < k < 7$$

$\displaystyle k$는 자연수이므로 가능한 $\displaystyle k$의 값은 $\displaystyle 5$ 또는 $\displaystyle 6$이다.

* **Case 1: $\displaystyle k = 5$일 때**

$$\displaystyle r = \frac{5-4}{3} = \frac{1}{3}$$

이를 $\displaystyle 3d = a_1(r-1)$에 대입하면 다음과 같다.

$$\displaystyle 3d = a_1\left(\frac{1}{3} - 1\right) = -\frac{2}{3}a_1 \implies a_1 = -\frac{9}{2}d$$

모든 항이 정수인 등차수열이므로 $\displaystyle a_1$과 $\displaystyle d$는 모두 정수여야 한다. $\displaystyle a_1$이 정수가 되려면 $\displaystyle d$는 짝수여야 한다. $\displaystyle a_1 = b_1 > 0$이므로 $\displaystyle d$는 음의 짝수이다.

* **Case 2: $\displaystyle k = 6$일 때**

$$\displaystyle r = \frac{6-4}{3} = \frac{2}{3}$$

이를 대입하면 다음과 같다.

$$\displaystyle 3d = a_1\left(\frac{2}{3} - 1\right) = -\frac{1}{3}a_1 \implies a_1 = -9d$$

이 경우 $\displaystyle d$가 임의의 음의 정수이면 $\displaystyle a_1$은 항상 정수가 된다 ($\displaystyle a_1 > 0$이므로 $\displaystyle d < 0$).

#### **3. 급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \left( b_n \cos(a_n\pi) \right)$의 변형**

$\displaystyle \cos(a_n\pi)$ 항은 $\displaystyle a_n$의 홀짝성에 따라 $\displaystyle 1$ 또는 $\displaystyle -1$의 값을 가진다.

$$\displaystyle a_n = a_1 + (n-1)d$$

* 만약 $\displaystyle d$가 **짝수**라면, 모든 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle a_n$의 홀짝성은 $\displaystyle a_1$의 홀짝성과 일치한다.

* 만약 $\displaystyle d$가 **홀수**라면, $\displaystyle a_n$의 홀짝성은 항이 진행됨에 따라 교대로 바뀐다.

이를 바탕으로 두 가지 경우를 나누어 분석한다.

### **[Case 1] $\displaystyle k = 5 \implies r = \frac{1}{3}, \, a_1 = -\frac{9}{2}d$**

$\displaystyle d$는 음의 짝수이므로 $\displaystyle d = -2j$ ($\displaystyle j$는 자연수)로 놓을 수 있다.

$$\displaystyle a_1 = -\frac{9}{2}(-2j) = 9j$$

$\displaystyle d$가 짝수이므로 모든 $\displaystyle a_n$의 홀짝성은 $\displaystyle a_1 = 9j$의 홀짝성과 같다. 즉, $\displaystyle j$의 홀짝성에 따라 결정된다.

* **$\displaystyle j$가 홀수일 때:** $\displaystyle a_1$은 홀수이므로 모든 $\displaystyle a_n$은 홀수이다.

따라서 $\displaystyle \cos(a_n\pi) = -1$이 된다.

$$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \left( b_n \cos(a_n\pi) \right) = \sum_{n=1}^{\infty} (-b_n) = -\frac{b_1}{1 - r} = -\frac{9j}{1 - \frac{1}{3}} = -\frac{27}{2}j$$

$\displaystyle j$가 홀수(최소 $\displaystyle 1$)이므로 절댓값의 최솟값은 $\displaystyle j=1$일 때 $\displaystyle \frac{27}{2} = 13.5$이다.

* **$\displaystyle j$가 짝수일 때:** $\displaystyle a_1$은 짝수이므로 모든 $\displaystyle a_n$은 짝수이다.

따라서 $\displaystyle \cos(a_n\pi) = 1$이 된다.

$$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \left( b_n \cos(a_n\pi) \right) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n = \frac{27}{2}j$$

$\displaystyle j$가 짝수(최소 $\displaystyle 2$)이므로 절댓값의 최솟값은 $\displaystyle j=2$일 때 $\displaystyle 27$이다.

### **[Case 2] $\displaystyle k = 6 \implies r = \frac{2}{3}, \, a_1 = -9d$**

$\displaystyle d$는 음의 정수이다.

#### **(i) $\displaystyle d$가 음의 짝수일 때 ($\displaystyle d = -2j$)**

$$\displaystyle a_1 = -9(-2j) = 18j$$

$\displaystyle a_1$은 항상 짝수이고 $\displaystyle d$가 짝수이므로 모든 $\displaystyle a_n$은 항상 짝수이다. 따라서 $\displaystyle \cos(a_n\pi) = 1$이 된다.

$$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \left( b_n \cos(a_n\pi) \right) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n = \frac{b_1}{1 - r} = \frac{18j}{1 - \frac{2}{3}} = 54j$$

절댓값의 최솟값은 $\displaystyle j=1$일 때 $\displaystyle 54$이다.

#### **(ii) $\displaystyle d$가 음의 홀수일 때 ($\displaystyle d = -2j+1$이 아니라 홀수 지칭)**

$\displaystyle d$가 홀수이므로 $\displaystyle a_n$의 홀짝성은 매 항마다 바뀐다.

$\displaystyle a_1 = -9d$이므로 $\displaystyle d$가 홀수이면 $\displaystyle a_1$도 홀수이다.

* $\displaystyle a_1$: 홀수 $\displaystyle \implies \cos(a_1\pi) = -1$

* $\displaystyle a_2$: 짝수 $\displaystyle \implies \cos(a_2\pi) = 1$

* $\displaystyle a_3$: 홀수 $\displaystyle \implies \cos(a_3\pi) = -1$

따라서 구하고자 하는 급수는 첫째항이 $\displaystyle -b_1$, 공비가 $\displaystyle -r = -\frac{2}{3}$인 등비급수가 된다.

$$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \left( b_n \cos(a_n\pi) \right) = -b_1 + b_1 r - b_1 r^2 + \cdots = \frac{-b_1}{1 - (-r)} = \frac{-b_1}{1 + r}$$

식에 $\displaystyle a_1 = b_1 = -9d$와 $\displaystyle r = \frac{2}{3}$를 대입한다.

$$\displaystyle \frac{-(-9d)}{1 + \frac{2}{3}} = \frac{9d}{\frac{5}{3}} = \frac{27}{5}d$$

우리는 이 값의 절댓값의 최솟값을 구해야 하므로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$$\displaystyle \left| \frac{27}{5}d \right| = \frac{27}{5}|d|$$

$\displaystyle d$는 음의 홀수이므로 $\displaystyle |d|$가 가질 수 있는 가장 작은 홀수는 $\displaystyle 1$이다 ($\displaystyle d = -1$일 때).

따라서 이 경우의 최솟값은 다음과 같다.

$$\displaystyle m = \frac{27}{5} \times 1 = \frac{27}{5}$$

#### **4. 전체 최솟값 $\displaystyle m$ 비교 및 최종 계산**

각 경우에서 얻은 절댓값의 최솟값들을 비교한다.

* Case 1 (j가 홀수): $\displaystyle \frac{27}{2} = 13.5$

* Case 1 (j가 짝수): $\displaystyle 27$

* Case 2 (d가 짝수): $\displaystyle 54$

* Case 2 (d가 홀수): $\displaystyle \frac{27}{5} = 5.4$

따라서 구하는 전체 최솟값 $\displaystyle m$은 가장 작은 값인 $\displaystyle \frac{27}{5}$이다.

$$\displaystyle m = \frac{27}{5}$$

최종적으로 구하고자 하는 값 $\displaystyle 10 \times m$을 계산하면 다음과 같다.

$$\displaystyle 10 \times m = 10 \times \frac{27}{5} = 54$$

**[정답]**

$$\displaystyle 54$$

 

 

미적분 30.

최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$에 대하여 함수 $g(x)$는 다음과 같다.

$$\displaystyle g(x) = \sqrt[3]{x \{f(x)\}^2}$$

함수 $g(x)$가 실수 전체의 집합에서 미분가능하고 $\displaystyle x = \frac{19}{7}$와 $\displaystyle x = 3$에서 극값을 가질 때, $\displaystyle f(5)$의 값을 구하시오.

### **[풀이]**

#### **1. $x=0$에서의 미분가능성 분석**

함수 $\displaystyle g(x)$는 다음과 같이 지수 형태로 표현할 수 있다.

$$\displaystyle g(x) = x^{\frac{1}{3}} \{f(x)\}^{\frac{2}{3}}$$

$\displaystyle x \neq 0$이고 $\displaystyle f(x) \neq 0$인 영역에서 곱의 미분법과 도함수의 정의를 활용하여 $\displaystyle g'(x)$를 구하면 다음과 같다.

$$\displaystyle g'(x) = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}\{f(x)\}^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{2}{3}\{f(x)\}^{-\frac{1}{3}}f'(x)$$

분모를 통분하여 식을 정리하면 다음과 같다.

$$\displaystyle g'(x) = \frac{f(x) + 2xf'(x)}{3x^{\frac{2}{3}}\{f(x)\}^{\frac{1}{3}}}$$

$\displaystyle x \to 0$일 때 분모가 $0$으로 수렴하므로, 함수 $\displaystyle g(x)$가 $\displaystyle x=0$에서 미분가능하여 유한한 미분계수 $\displaystyle g'(0)$을 가지려면 분자 역시 $0$으로 수렴해야 한다.

따라서 다음 조건이 성립한다.

$$\displaystyle f(0) = 0$$

삼차함수 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x$를 인수로 가지며, 최고차항의 계수가 $1$이므로 다음과 같이 설정할 수 있다.

$$\displaystyle f(x) = x(x^2 + ax + b)$$

이 식을 $\displaystyle g(x)$에 대입하여 $\displaystyle x=0$ 부근에서의 형태를 재확인하면 다음과 같다.

$$\displaystyle g(x) = \sqrt[3]{x \cdot x^2 (x^2 + ax + b)^2} = x (x^2 + ax + b)^{\frac{2}{3}}$$

이 구조는 $\displaystyle x=0$에서 첨점(뾰족점)을 형성하지 않고 부드럽게 연결되므로 실수 전체에서 미분가능 조건을 완벽히 만족한다.

#### **2. 극값 조건을 통한 계수 결정**

$\displaystyle x > 0$ 영역에서 $\displaystyle g(x)$의 극값을 찾기 위해 도함수 $\displaystyle g'(x) = 0$이 되는 방정식을 세운다. 분자가 $0$이 되어야 하므로 다음 식이 유도된다.

$$\displaystyle f(x) + 2xf'(x) = 0$$

$\displaystyle f(x) = x^3 + ax^2 + bx$이므로 그 도함수는 다음과 같다.

$$\displaystyle f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$$

이를 위의 방정식에 대입한다.

$$\displaystyle (x^3 + ax^2 + bx) + 2x(3x^2 + 2ax + b) = 0$$

$$\displaystyle x^3 + ax^2 + bx + 6x^3 + 4ax^2 + 2bx = 0$$

$$\displaystyle 7x^3 + 5ax^2 + 3bx = 0$$

우리가 찾는 극값의 위치는 $\displaystyle x > 0$ 영역이므로 양변을 $\displaystyle x$로 나누어 이차방정식을 얻을 수 있다.

$$\displaystyle 7x^2 + 5ax + 3b = 0$$

문제의 조건에서 $\displaystyle g(x)$는 $\displaystyle x = \frac{19}{7}$와 $\displaystyle x = 3$에서 극값을 가진다고 했으므로, 이 두 값이 위 이차방정식의 두 실근이 된다.

#### **3. 근과 계수의 관계 적용**

이차방정식 $\displaystyle 7x^2 + 5ax + 3b = 0$의 두 근이 $\displaystyle \frac{19}{7}$과 $\displaystyle 3$임을 이용하여 계수를 결정한다.

* **두 근의 합:**

$$\displaystyle \frac{19}{7} + 3 = \frac{19 + 21}{7} = \frac{40}{7}$$

근과 계수의 관계에 의해 두 근의 합은 $\displaystyle -\frac{5a}{7}$이므로 다음과 같다.

$$\displaystyle -\frac{5a}{7} = \frac{40}{7} \implies -5a = 40 \implies a = -8$$

* **두 근의 곱:**

$$\displaystyle \frac{19}{7} \times 3 = \frac{57}{7}$$

근과 계수의 관계에 의해 두 근의 곱은 $\displaystyle \frac{3b}{7}$이므로 다음과 같다.

$$\displaystyle \frac{3b}{7} = \frac{57}{7} \implies 3b = 57 \implies b = 19$$

구해진 계수를 대입하면 삼차함수 $\displaystyle f(x)$의 최종 식을 얻을 수 있다.

$$\displaystyle f(x) = x(x^2 - 8x + 19)$$

#### **4. $\displaystyle f(5)$의 값 계산**

구한 함수식에 $\displaystyle x = 5$를 대입하여 최종 값을 계산한다.

$$\displaystyle f(5) = 5 \times (5^2 - 8 \times 5 + 19)$$

$$\displaystyle f(5) = 5 \times (25 - 40 + 19)$$

$$\displaystyle f(5) = 5 \times 4 = 20$$

**[정답]**

$$\displaystyle 20$$