극한값 계산하기
수학이야기/미적분Ⅰ 2026. 8. 21. 11:15극한 $\lim$를 처음 만나면 낯선 기호 때문에 어렵게 느껴질 수 있다. 하지만 겁먹을 필요는 없다. 극한은 우리가 익숙하게 사용해 온 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈과 아주 잘 어울리는 성질을 가지고 있다. 덕분에 복잡한 함수의 극한도 간단한 함수들의 극한으로 나누어 계산할 수 있다. 극한이 어떤 좋은 성질을 가지고 있는지 먼저 살펴보자.
극한값의 성질
두 함수 $f(x)$과 $g(x)$에서 각각 $\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow p}f(x)=L}$과 $\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow p}g(x)=M}$이라고 하자.(단, $p,L,M,c$는 실수)
1. $\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow p}c=c}\;$
2. $\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow p}(f(x) \pm g(x))=\lim_{x\rightarrow p}f(x) \pm \lim_{x\rightarrow p}g(x) =L\pm M}$
3. $\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow p}cf(x)=c\lim_{x\rightarrow p}f(x) =cL}$
4. $\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow p}f(x) g(x)=\lim_{x\rightarrow p}f(x) \times \lim_{x\rightarrow p}g(x) =LM}$
5. $\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow p}\frac{f(x)}{g(x)}}=\frac{\displaystyle{\lim_{x\rightarrow p}f(x)} }{\displaystyle{\lim_{x\rightarrow p}g(x) }}=\displaystyle{\frac{L}{M}}\;\;(M \not=0)$
2와 3을 합치면
$$\lim_{x \rightarrow p}\{af(x)+bg(x)\}=aL+bM$$
이 성립한다. 이러한 성질을 극한의 선형성(linearity)이라고 한다. 선형성은 수학 곳곳에서 만날 수 있는 중요한 성질이다. 극한뿐만 아니라 미분과 적분에서도 합과 상수배를 그대로 보존하는 선형성이 성립한다.
그래프가 원점을 지나는 직선인 $y=ax$는 선형성을 보여주는 대표적인 함수이다. 이는 함수의 합과 상수배에 관한 연산을 극한 기호와 서로 바꾸어 계산할 수 있다는 뜻이다.
선형성에 이어 4, 5와 같은 성질까지 가진 경우는 흔치 않다. 곱셈과 나눗셈도 분리하여 구할 수 있으니 얼마나 편하고 좋은가 말이다. 다만 분모가 0으로 수렴할 때는 성질을 바로 사용할 수 없을 뿐이다. 나눗셈의 극한에 관한 성질 5는 분모의 극한값이 0이 아닌 실수일 때만 바로 적용할 수 있다. 분모가 0으로 수렴하거나 분자 또는 분모가 무한대로 발산하는 경우에는 식을 적절히 변형하여 극한을 다시 조사해야 한다.
결론은 극한 기호는 덧셈과 뺄셈은 물론 곱셈과 나눗셈과 바꾸어 계산할 수 있다는 것이다. 심지어 근호 계산과도 바꿀 수 있다. 따라서 고등학교 극한 문제는 대부분 항등함수 $f(x)=x$의 극한만 알아도 구할 수 있다.
다만 위에 있는 정리는 가정에 있는 것처럼 두 함수가 모두 유한한 극한값을 가질 때만 성립한다.
극한값의 계산
두 함수의 분수꼴인 함수의 극한을 계산할 때 항상 분모와 분자의 극한을 확인하여 어떤 꼴인가를 먼저 확인해야 한다.
너무 쉬워서 시험에 나오지 않는 상수/상수 꼴
분모가 모두 0이 아닌 상수로 수렴한다면 성질 5를 바로 사용하면 되므로 너무 쉽다.
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^2}{x+1}=\frac{1}{2}}$
이제 분모가 0으로 수렴하는 경우를 생각해 보자.
$1/0$ 꼴
분자의 극한이 0이 아닌 상수라는 뜻으로 1을 적은 것이다.
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 1}\frac{1}{x-1}}$은
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 1+}\frac{1}{x-1}=\infty}$
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 1-}\frac{1}{x-1}=-\infty}$
좌극한과 우극한이 같지 않으므로 극한값이 존재하지 않는다.
이와 같은 꼴은 수렴할 수 없다.
$0/0$ 꼴
가장 많이 나오는 꼴이다. 분모와 분자가 모두 다항함수이고 극한이 0이라면 인수정리에 따라 분모와 분자에 공통인수가 있다. 약분해서 상수/상수 꼴이 된다면 극한을 구할 수 있다.
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^2 -1}{x-1}= \lim_{x\rightarrow 1}\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}= \lim_{x\rightarrow 1}(x+1)=2 }\;\;\quad (\because x\not=1)$
무조건 극한이 있다는 뜻은 아니다.
이와 같이 극한이 정해지지 않아서 식을 변형하여 다시 조사해야 하는 꼴을 부정형(indeterminate form)이라고 부르기도 한다.
$1/\pm \infty$ 꼴
$x\rightarrow\pm \infty$일 때, 기본이 되는 꼴이다. 편의상 $1/\pm\infty$꼴이라고 표현하지만, $\infty$는 수가 아니다. 분모의 절댓값이 한없이 커질 때 전체 값이 0에 가까워지는 상황을 나타낸 것이다.
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{1}{x+2}=0}$, $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{1}{-2x+3}=0}$
$\infty/\infty$ 꼴
변형하여 상수/상수 꼴이 되면 극한을 구할 수 있다. 이 또한 많이 나오는 꼴이므로 중요하다. 꼴도 꼴과 마찬가지로 그 꼴만으로는 극한값을 결정할 수 없는 부정형이다.
아래와 같은 꼴은 최고차항으로 나누면 쉽게 해결된다.
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{2x^2 +3x-1}{x^2+2x}= \lim_{x\rightarrow \infty}\cfrac{2+\cfrac{3}{x}-\cfrac{1}{x^2}}{1+\cfrac{2}{x}} =2}$
$\infty -\infty$ 꼴
고등학교에서는 무리함수를 포함한 형태가 자주 나오며, 이 경우 유리화를 이용하여 분수꼴로 바꾸면 극한을 구하기 쉬운 경우가 많다. 유리화로 분수꼴로 만들면 $\infty/\infty$꼴이 되어서 해결할 수 있다.
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow \infty}(\sqrt{x^2 +x}-x)}$
다음과 같이 유리화하여 계산한다.
\begin{split}
\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)&=\lim_{x\to\infty}\frac{(\sqrt{x^2+x}-x)(\sqrt{x^2+x}+x)}{\sqrt{x^2+x}+x}\\
&=\lim_{x\to\infty}\frac{x^2+x-x^2}{\sqrt{x^2+x}+x}\\&=\lim_{x\to\infty}\frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}\\&=\lim_{x\to\infty}
\frac{1}{\sqrt{1+\frac1x}+1}\\&=\frac{1}{1+1}\\&=\boxed{\frac12}.\end{split}
처음에는 ($\infty-\infty$)꼴이지만, 유리화를 통해 극한값을 계산할 수 있는 형태로 바꾸는 것이 핵심이다.
마지막으로 함정이 있는 문제를 풀어보자.
$$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty}(\sqrt{x^2 +2x}+x)}$$
유리화하면
\begin{aligned}
\sqrt{x^2+2x}+x
&=\frac{(\sqrt{x^2+2x}+x)(\sqrt{x^2+2x}-x)}
{\sqrt{x^2+2x}-x}\\
&=\frac{2x}{\sqrt{x^2+2x}-x}.
\end{aligned}
$x\to-\infty$일 때 $x<0$이므로
$$\sqrt{x^2+2x}=|x|\sqrt{1+\frac2x}=-x\sqrt{1+\frac2x}$$
따라서
\begin{aligned}
\frac{2x}{\sqrt{x^2+2x}-x}
&=\frac{2x}{-x\sqrt{1+\frac2x}-x}\\
&=-\frac{2}{\sqrt{1+\frac2x}+1}.
\end{aligned}
이제 $x\to-\infty$이면 $\frac2x\to0$이므로
$$\boxed{\lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{x^2+2x}+x\right)=-1}$$
핵심은 $x\to-\infty$에서 $\sqrt{x^2}=|x|=-x$라는 점이다.
