[미적분Ⅰ] 비상 교과서 함수의 극한 도전 문제 풀이 (원과 직선의 교점)

두 함수 $f(x)$, $g(x)$에 대하여 $\displaystyle{\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\alpha \quad (\alpha\text{는 실수})}$이고 $\displaystyle{\lim_{x\to a}g(x)=0}$이면 함수의 극한에 대한 성질에 따라

$$
\begin{split}
\lim_{x\to a}f(x)
&=\lim_{x\to a}\left\{\frac{f(x)}{g(x)}\times g(x)\right\}\\
&=\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}\times\lim_{x\to a}g(x)\\
&=\alpha\times 0=0
\end{split}
$$

이 성립한다. 즉, $ \displaystyle{\lim_{x\to a}f(x)=0}$이다.

분수꼴 함수에서 분모가 0으로 수렴할 때 극한값이 유한하게 존재하려면 분자도 0으로 수렴해야 한다. 즉, 이 경우 0/0꼴이 되는 것은 극한값이 존재하기 위한 필요조건이다.

 

도전 문제

다음 그림과 같이 두 점 $A(0,t)\;(t>0)$, $B(-1,0)$을 지나는 직선과 원 $x^2+y^2=1$의 교점 중에서 $B$가 아닌 점을 $P$라고 하자. 점 $P$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 $H$라고 할 때, 극한값

$$\lim_{t\to\infty}\left(\overline{OA}\times\overline{PH}\right)$$

를 구하시오.

 

풀이

주어진 극한을 구하려면 두 선분 $\overline{OA},\; \overline{PH}$의 길이를 $t$의 함수로 나타내야 한다.

직관적으로 $t\to\infty$일 때, $\overline{OA}\to \infty$이고 $\overline{PH}\to 0$임을 알 수 있다.

직선 $AB$는 $A(0,t)$, $B(-1,0)$을 지나므로 기울기가 $t$이다. 따라서 직선 $AB$의 방정식은

$$y=t(x+1)\tag{1}$$

원 $x^2+y^2=1$과의 교점 중 $B$가 아닌 점을 $P(x_P,y_P)$라 하자.

점 $P$의 좌표 구하기

직선의 방정식을 원의 방정식에 대입하면

$$x^2+t^2(x+1)^2=1$$

전개하면

$$(1+t^2)x^2+2t^2x+t^2-1=0\tag{2}$$

이 방정식의 한 근은 $B$의 $x$좌표인 $-1$이다. 다른 근이 $P$의 $x$좌표이다.

근과 계수와의 관계에 따라 두 근의 곱을 이용하면

$$(-1)\times x_P =\dfrac{t^2-1}{t^2+1}$$

이므로

$$x_P=\frac{1-t^2}{1+t^2}$$

이다.

이것을 직선 $y=t(x+1)$에 대입하여

$$\begin{split}y_P&=t\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}+1\right)\\&=t\left(\frac{1-t^2+1+t^2}{1+t^2}\right)\\&=\frac{2t}{1+t^2}\end{split}$$

그런데 $H$는 $P$에서 $x$축에 내린 수선의 발이므로

$$\overline{PH}=y_P=\frac{2t}{1+t^2}$$

$\overline{OA}\times \overline{PH}$ 계산

$O=(0,0)$, $A=(0,t)$이므로 $\overline{OA}=t$

따라서

$$\overline{OA}\times \overline{PH}=t\cdot\frac{2t}{1+t^2}=\frac{2t^2}{1+t^2}$$

이제 $t\to\infty$를 취하면

$$\lim_{t\to\infty}\frac{2t^2}{1+t^2}=\lim_{t\to\infty}\cfrac{2}{1+\cfrac1{t^2}}=2$$

따라서 정답은 $2$이다.

심화학습

2학년 과정에서는 조금 앞선 내용이지만, 삼각함수의 여러 공식을 배운 3학년이라면 다음과 같이 풀 수도 있다.

그림에서 $\angle ABO=\theta$라고 하면 $\overline{OA}=\tan \theta =t$이다.

$\triangle OBP$은 이등변삼각형이므로 $\angle PBO=\angle BPO=\theta$이다.

따라서 $\angle BOP=\pi-2\theta$이다.

그러므로 동경 ${OP}$가 $x$축의 양의 방향과 이루는 각의 크기는 $2\theta$이다.

삼각함수의 정의를 생각하면 $$P(\cos 2\theta,\;\;\sin 2\theta)$$

따라서 아래와 같이 삼각함수의 극한값 구하기 문제로 바꿔서 생각할 수 있다.

$$\begin{split}\lim_{t\to\infty}\left(\overline{OA}\times\overline{PH}\right)&=\lim_{\theta\to \frac{\pi}{2}-}\tan\theta \times \sin 2\theta\\&=\lim_{\theta\to \frac{\pi}{2}-}\tan\theta \times 2\sin \theta\cos\theta \\&=\lim_{\theta\to \frac{\pi}{2}-} 2\sin^2 \theta =2\end{split}$$이다. 

참고  2022개정교육과정에서 삼각함수의 극한은 진로선택과목인 [미적분 Ⅱ]에서 배울 수 있다. 공학이나 자연계열 진학을 생각하고 있다면 미적분Ⅱ를 선택하기를 권한다.

 

도전문제

다항함수 $g(x)$에 대하여 $\displaystyle{\lim_{x\to2}\dfrac{g(x)-x^2}{x-2}}$의 값이 존재하고, 다항함수 $f(x)$가

$$
f(x)+(x-2)^2=(x-2)g(x)
$$

를 만족시킬 때, 극한값 $\displaystyle{\lim_{x\to2}\dfrac{f(x)g(x)}{x^2-4}}$를 구하시오.

 

풀이

먼저 주어진 조건

$$
\lim_{x\to2}\dfrac{g(x)-x^2}{x-2}
$$

의 값이 존재한다는 사실에 주목한다.

$x\to2$일 때 분모 $x-2$는 $0$으로 수렴한다.

극한값이 존재하려면 분자도 $0$으로 수렴해야 하므로 $g(2)-2^2=0$이다.

따라서 $g(2)=4$를 얻는다.

이제 두 번째 조건

$$
f(x)+(x-2)^2=(x-2)g(x)
$$

에서 $f(x)$를 정리하면

$$
\begin{split}
f(x)
&=(x-2)g(x)-(x-2)^2\\
&=(x-2)\{g(x)-(x-2)\}
\end{split}
$$

이다.

따라서 구하려는 극한은

$$
\begin{split}
\lim_{x\to2}\frac{f(x)g(x)}{x^2-4}
&=\lim_{x\to2}
\frac{(x-2)\{g(x)-(x-2)\}g(x)}
{(x-2)(x+2)}\\
&=\lim_{x\to2}
\frac{\{g(x)-(x-2)\}g(x)}{x+2}.
\end{split}
$$

$g(x)$는 다항함수이므로 연속이고 $g(2)=4$이다. 따라서

$$
\begin{aligned}
\lim_{x\to2}
\frac{\{g(x)-(x-2)\}g(x)}{x+2}
&=\frac{\{g(2)-(2-2)\}g(2)}{2+2}\\
&=\frac{(4-0)\times4}{4}\\
&=4.
\end{aligned}
$$

따라서 구하는 극한값은 $4$이다.

 

풀이의 핵심

이 문제에서는 처음에 주어진 극한의 구체적인 값은 필요하지 않다. 극한값이 존재한다는 사실만으로 $g(2)=4$를 알아내는 것이 핵심이다. 

그다음 $f(x)$에서 $x-2$를 인수로 묶어 내면 분모의 $x^2-4=(x-2)(x+2)$와 약분할 수 있어 간단하게 해결된다.