연속함수는 값을 건너뛰지 않는다

연속함수는 그래프가 끊어지지 않고 이어지는 함수이다. 이 단순해 보이는 성질에서 매우 중요한 두 가지 정리가 나온다. 하나는 연속함수의 최대·최소 정리이고, 다른 하나는 사잇값 정리이다.

두 정리 모두 연속함수의 그래프를 떠올리면 비교적 자연스럽게 이해할 수 있다. 아쉽게도 고등학교 과정에서 엄밀하게 증명하기는 어렵다.

“증명이 궁금해서 참을 수 없다면 수학과에 진학하시라. 거기서는 피하고 싶어도 만나게 된다.”

연속함수의 최대·최소 정리

함수 $ \displaystyle f(x) $가 닫힌구간 $ \displaystyle [a,b] $에서 연속이면, 이 구간에서 $ \displaystyle f(x) $는 반드시 최댓값과 최솟값을 가진다.

즉, $ \displaystyle [a,b] $ 안의 어떤 두 점 $ \displaystyle x_1, x_2 $가 있어서 모든 $ \displaystyle x\in[a,b] $에 대하여 $ \displaystyle f(x_1)\leq f(x)\leq f(x_2) $가 성립한다.

이때 $ \displaystyle f(x_1) $은 최솟값이고 $ \displaystyle f(x_2) $는 최댓값이다.

이 정리에서 중요한 조건은 함수가 연속이라는 것과 정의역이 닫힌구간이라는 것이다.

예를 들어 함수 $ \displaystyle f(x)=x $를 열린구간 $ \displaystyle 0<x<1 $에서 생각해 보자.

함수는 이 구간에서 연속이지만 최솟값과 최댓값을 가지지 않는다. 함숫값은 $ \displaystyle 0 $에 한없이 가까워질 수 있지만 실제로 $ \displaystyle 0 $이 될 수 없고, 마찬가지로 $ \displaystyle 1 $에 한없이 가까워질 수 있지만 실제로 $ \displaystyle 1 $이 될 수 없다.

반면 정의역을 닫힌구간 $ \displaystyle [0,1] $로 바꾸면 $ \displaystyle f(0)=0,\qquad f(1)=1 $이므로 최솟값은 $ \displaystyle 0 $, 최댓값은 $ \displaystyle 1 $이 된다.

연속함수의 그래프를 닫힌구간에서 그린다고 생각해 보자. 그래프는 왼쪽 끝점에서 오른쪽 끝점까지 끊어지지 않고 이어진다. 그리고 구간의 양 끝점까지 모두 포함하고 있기 때문에 그래프에는 가장 높은 점과 가장 낮은 점이 반드시 나타난다.

따라서 다음과 같이 기억하면 좋다.

닫힌구간에서 연속인 함수는 가장 높은 값과 가장 낮은 값을 반드시 가진다.

여기에서 최댓값이나 최솟값이 반드시 구간의 양 끝에서 나타나는 것은 아니다. 구간 내부에서 나타날 수도 있고, 경우에 따라 같은 최댓값이나 최솟값을 여러 점에서 가질 수도 있다.

사잇값 정리

함수 $ \displaystyle f(x) $가 닫힌구간 $ \displaystyle [a,b] $에서 연속이라고 하자. 또 $ \displaystyle f(a)<k<f(b) $라고 하자.
그러면 열린구간 $ \displaystyle (a,b) $ 안에 적어도 하나의 $ \displaystyle c $가 존재하여 $ \displaystyle f(c)=k $가 된다. 
$ \displaystyle f(a)>f(b) $인 경우도 마찬가지이다.

말로 표현하면, 연속함수는 두 함숫값 사이에 있는 값을 건너뛸 수 없다는 뜻이다.

예를 들어 $ \displaystyle f(a)=2,\qquad f(b)=7 $이고 함수가 $ \displaystyle [a,b] $에서 연속이라고 하자.

그러면 그래프가 높이 $ \displaystyle 2 $인 점에서 높이 $ \displaystyle 7 $인 점까지 끊어지지 않고 이어져야 한다. 따라서 그 사이에 있는 $ \displaystyle 3,\ 4,\ 5,\ 6 $과 같은 값들을 반드시 지나게 된다.

뿐만 아니라 $ \displaystyle 2<k<7 $인 어떤 실수 $ \displaystyle k $를 잡더라도 $ \displaystyle f(c)=k $ 가 되는 $ \displaystyle c $가 적어도 하나 존재한다.

여기에서 '적어도 하나'라는 표현도 중요하다. 그래프가 위아래로 움직이는 모양이라면 같은 높이 $ \displaystyle y=k $를 여러 번 지날 수도 있기 때문이다.

그래프로 생각하면 사잇값 정리는 매우 자연스럽다. 연속인 그래프를 종이에서 펜을 떼지 않고 그린다고 생각하자. 높이 $ \displaystyle f(a) $에서 출발하여 높이 $ \displaystyle f(b) $까지 가려면 그 사이의 모든 높이를 적어도 한 번은 지나야 한다.

따라서 다음과 같이 기억할 수 있다.

연속함수는 두 함숫값 사이의 값을 건너뛰지 않는다.

 

사잇값 정리로 방정식의 근을 찾을 수 있다

사잇값 정리는 방정식 $ \displaystyle f(x)=0 $의 해가 존재하는지 확인할 때 매우 자주 사용한다.

함수 $ \displaystyle f(x) $가 $ \displaystyle [a,b] $에서 연속이고 $ \displaystyle f(a)<0,\qquad f(b)>0 $이라고 하자.

그러면 $ \displaystyle f(a) $와 $ \displaystyle f(b) $ 사이에 $ \displaystyle 0 $이 있다. 따라서 사잇값 정리에 의해 어떤 $ \displaystyle c\in(a,b) $가 존재하여 $ \displaystyle f(c)=0 $이 된다.

즉, 방정식 $ \displaystyle f(x)=0 $은 구간 $ \displaystyle (a,b) $ 안에서 적어도 하나의 실근을 가진다.

같은 내용을 간단히 $ \displaystyle f(a)f(b)<0 $이면 $ \displaystyle (a,b) $ 안에 $ \displaystyle f(c)=0 $인 점이 적어도 하나 존재한다고 표현하기도 한다.

다만 이것은 근이 존재한다는 것만 보장한다. 근이 하나뿐이라는 뜻은 아니다.

두 정리를 함께 보면

연속함수의 최대·최소 정리와 사잇값 정리는 서로 다른 내용을 말하지만 연속함수의 중요한 특징을 잘 보여준다.

최대·최소 정리는 닫힌구간에서 연속함수가 가장 큰 값과 가장 작은 값을 실제로 가진다는 정리이다.

사잇값 정리는 연속함수가 그 최솟값과 최댓값 사이의 값을 하나도 빠뜨리지 않는다는 정리이다.

따라서 함수 $ \displaystyle f(x) $가 닫힌구간에서 연속이고 최솟값을 $ \displaystyle m $, 최댓값을 $ \displaystyle M $이라고 하면 그 함수가 가지는 함숫값 전체는 $ \displaystyle [m,M] $의 형태가 된다.

그래프의 관점에서 보면 연속함수는 닫힌구간 안에서 가장 낮은 곳과 가장 높은 곳이 존재하고, 그 사이의 모든 높이를 빠짐없이 지나간다는 뜻이다.

연속이라는 조건 하나에서 이처럼 강력한 성질이 따라온다는 점이 흥미롭다.