횔더의 부등식

다음 정리에 나오는 부등식을 횔더 부등식 ($H\ddot{o}lder's \;\;\; inequality$)으로 부른다.

$$\forall (x_1,x_2,\cdots, x_n),(y_1,y_2,\cdots,y_n) \in \mathbb{R}^n ,\;\; p, \; q \in (1,\infty),\;\; \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$$

$$\implies \sum_{i=1}^{n} |x_i y_i |\leq \left(\sum_{i=1}^{n} {|x_i|}^p \right)^{\frac{1}{p}}\left(\sum_{i=1}^{n} {|y_i|}^q \right)^{\frac{1}{q}}\;(i=1,2,\cdots,n)$$

증명) $|x_i|=a_i,\;\; |y_i|=a_i,\;\;f(x)=x^{\frac{1}{p}}$로 하자.

$f(x)=x^{\frac{1}{p}}$는 $x>0$에서 위로 볼록한 함수(오목)이므로 젠센 부등식에의해

$$\lambda_i >0, \sum_{i=1}^{n} \lambda_i =1 ,\;\;x_i >0\implies \sum_{i=1}^{n} \lambda _i {x_i}^{\frac{1}{p}} \leq \left( \sum_{i=1}^{n} \lambda _i x_i \right)^{\frac{1}{p}}$$

이제 $\displaystyle{{a_i }^p =A_i, \sum_{i=1}^{n}{a_i}^p =\sum_{i=1}^{n} A_i =A}$

$\displaystyle{{b_i }^p =B_i, \sum_{i=1}^{n}{a_i}^q =\sum_{i=1}^{n} B_i =B}$

$\displaystyle{\lambda_i =\frac{B_i}{B}}$라고 하면 위에 적은 젠센부등식에 따라

$$\sum_{i=1}^{n} a_i b_i = \sum_{i=1}^{n} {A_i}^{\frac{1}{p}} {B_i}^{\frac{1}{q}} = \sum_{i=1}^{n} {A_i}^{\frac{1}{p}} {B_i}^{1-\frac{1}{p}} = \sum_{i=1}^{n} {B_i}\left( \frac{A_i}{B_i} \right)^{\frac{1}{p}} \\ \quad \;\; =B \sum_{i=1}^{n} {\lambda_i} \left( \frac{A_i}{B_i} \right)^{\frac{1}{p}}  \leq B \left( \sum_{i=1}^{n} {\lambda_i} \frac{A_i}{B_i}   \right)^{\frac{1}{p}} = B \left( \sum_{i=1}^{n} \frac{A_i}{B}  \right)^{\frac{1}{p}} $$

$$ \quad \;\; = B^{1-\frac{1}{p}} \left(\sum_{i=1}^{n} A_i \right)^{\frac{1}{p}}  = A^{\frac{1}{p}}B^{\frac{1}{q}}= \left(\sum_{i=1}^{n} {a_i}^p \right)^{\frac{1}{p}} \left( \sum_{i=1}^{n} {b_i}^q \right)^{\frac{1}{q}}$$

$$\therefore \;\;\; \sum_{i=1}^{n} |x_i y_i |\leq \left(\sum_{i=1}^{n} {|x_i|}^p \right)^{\frac{1}{p}}\left(\sum_{i=1}^{n} {|y_i|}^q \right)^{\frac{1}{q}}\;(i=1,2,\cdots,n)$$

이 부등식에서 $p=q=2$일 때는 코시-슈바르츠(Cauchy-Schwartz) 부등식이다.

$$ \left( \sum_{i=1}^{n} |x_i y_i | \right)^2 \leq \left(\sum_{i=1}^{n} {|x_i|}^2 \right) \left(\sum_{i=1}^{n} {|y_i|}^2 \right)\;\;\;(i=1,2,\cdots,n)$$