손으로 제곱근 계산하기

$\sqrt{2}=1.4142\cdots$임은 외우고 있을 것이다. 하지만 $\sqrt{30}$의 근삿값을 소수점 아래 다섯 자리까지 찾으라고 한다면 조금은 당황스러울 것이다. 이제 손으로 제곱근 값을 계산하는 방법을 알아보자.

바빌로니아 방법(Babylonian method)

$\sqrt{S}$의 근삿값 $x_n$을 찾고 다음으로 $x_{n+1}$을 아래와 같은 점화식으로 찾아 나가는 방식이다. wiki

$$x_{n+1}=\frac{1}{2}\bigg(x_n +\frac{S}{x_n} \bigg)$$

$\sqrt{30}$은 $x_0 =5$로 놓고 풀면 아래와 같이 아주 빠르게 근삿값에 가까워짐을 알 수 있다.

$$x_1 =\frac{1}{2}\bigg(5+\frac{30}{5}\bigg)=5.5$$

$$x_2 =\frac{1}{2}\bigg(5.5+\frac{30}{5.5}\bigg)=5.477272727$$

$$x_3 =\frac{1}{2}\bigg(5.477225575+\frac{30}{5.477225575}\bigg)=5.477225575$$

$$x_4 =\frac{1}{2}\bigg(5.477225575+\frac{30}{5.477225575}\bigg)=5.477225575$$

이 방법은 아래와 같이 증명할 수 있다.

$\varepsilon >0$은 이미 구한 근삿값 $x_n$보다 아주 작은 수라고 가정하자. 

$$\sqrt{S}=x_n +\varepsilon =x_{n+1}$$

$$S=(x_n +\varepsilon )^2 ={x_n}^2 +2\varepsilon x_n +\varepsilon^2={x_n}^2 +\varepsilon(2x_n +\varepsilon)$$

정리하면

$$\varepsilon=\frac{S-{x_n}^2}{2x_n +\varepsilon}$$

$\varepsilon >0$은 아주 작은 수이므로

$$\varepsilon=\frac{S-{x_n}^2}{2x_n}$$

라고 할 수 있다. 이제 새로운 근삿값 $x_{n+1}$을 구하면

$$x_{n+1}=x_n + \frac{S-{x_n}^2}{2x_n}=\frac{{x_n}^2 +S}{2x_n}=\frac{1}{2}\bigg(x_n +\frac{S}{x_n} \bigg)$$

이 방법은 방정식 $x^2 -S=0$의 해를 찾을 때, $f(x)=x^2 -S$의 $x$절편을 찾는 뉴튼 방법과 같다.

$(x_0 ,f(x_0))$에서 접선 방정식은 아래와 같다.  $$y-f(x_0)=f^{\prime}(x_0)(x-x_0)$$

한편, $f^{\prime}(x_0)=2x_0$이므로

$$0-f(x_0)=2x_0(x_1 -x_0)$$

$$x_1 =x_0-\frac{f(x_0)}{2x_0}=x_0-\frac{x_0 ^2 -S}{2x_0}=\frac{1}{2}\bigg(x_0 +\frac{S}{x_0}\bigg)$$

일반화하면 같은 결과를 얻는다.

바빌로니아 수학이 참 놀랍다. 하지만 엄밀한 증명으로 나아가지 못하고 근삿값 계산에 머물렀기 때문에 더 발전하지 못한 것으로 생각한다. 역시 수학의 꽃은 증명이다.

연분수로 구하기

아래와 같이 연분수 계산으로 제곱근의 근삿값을 구할 수도 있다.

$$\sqrt 2 =1+\sqrt 2 -1=1+\frac{1}{1+ \sqrt 2}=1.5\;\;(\sqrt2 \approx 1)$$

$$\sqrt 2 = 1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{1+ \sqrt 2}}=1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{1+1}}=1+\frac{2}{5}=1.4$$

$$\sqrt 2 = 1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{1+ \sqrt 2}}=1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cdots}}}}$$

와 같이 나타낼 수 있으므로 근삿값을 바라는 만큼 정확하게 구할 수 있다.

 연분수(Continued fraction) 자세히 알아보기

소수 표현으로 구하기

$\sqrt2 = a_0.a_1 a_2$라고 하자.

$$\sqrt 2 = a_0 + a_1 \times \frac{1}{10}+a_2 \times \frac{1}{10^2}$$

$$ 2 = \bigg(a_0 + a_1 \times \frac{1}{10}+a_2 \times \frac{1}{10^2}\bigg)^2$$

$$2 = {a_0}^2 + {a_1}^2 \times \frac{1}{10^2}+{a_2}^2 \times \frac{1}{10^4}+2a_0 a_1 \frac{1}{10}+2a_1 a_2 \frac{1}{10^3}+2a_3 a_0 \frac{1}{10^2}$$

$a_i =0,1,2,\cdots,9$이므로 $a_0 =1$임을 쉽게 알수 있다.

$$2-1={a_1}^2 \times \frac{1}{10^2}+{a_2}^2 \times \frac{1}{10^4}+2a_0 a_1 \times \frac{1}{10}+2a_1 a_2 \times \frac{1}{10^3}+2a_3 a_0 \times \frac{1}{10^2}$$

$$10^2(2-1)={a_1}^2 +{a_2}^2 \times \frac{1}{10^2}+2a_0 a_1 \times 10+2a_1 a_2 \times \frac{1}{10}+2a_3 a_0$$

$$10^2(2-1)={a_1}^2 +2a_0 a_1 \times 10 +{a_2}^2 \times \frac{1}{10^2} +2a_1 a_2 \times \frac{1}{10}+2a_3 a_0$$

$$10^2(2-1)-{a_1}(2a_0 \times 10+a_1)={a_2}^2 \times \frac{1}{10^2} +2a_1 a_2 \times \frac{1}{10}+2a_3 a_0$$

${a_1}(2a_0 \times 10+a_1)$가 $100$을 넘지 않는 최대 정수이려면 $a_1 =4$임을 찾을 수 있다.

이것을 일반화하면 아래와 같은 제곱근 계산법을 얻을 수 있다.

펠 방정식으로 구하기

 

펠 방정식(Pell's equation)은 아래와 같은 디오판토스 방정식이다.

$$x^2 -Ny^2 =1$$

$N=2$일 때, 이 방정식의 해를 좌표평면에 나타내면 쌍곡선이 된다. 이때, 방정식의 정수해를 찾는 것은 쌍곡선 위의 점 가운데 $x,y$좌표가 모두 정수인 것을 찾는 것과 같다. $(-1,0) ,\;\;(1,0)$은 당연한(trivial) 해이다. 쉽게 찾을 수 있는 6개의 해는 아래와 같다.

인도의 브라마굽타는 아래와 같은 방법으로 알려진 두 개의 해 $(x_1,y_1),\;\;(x_2,y_2)$로 다른 해를 찾았다고 한다.

${x_1}^2 -N{y_1}^2 =1,\;\;{x_2}^2 -N{y_2}^2 =1$라고 하면

$(x_1^2 - Ny_1^2)(x_2^2 - Ny_2^2) = (x_1x_2 + Ny_1y_2)^2 - N(x_1y_2 + x_2y_1)^2 = (x_1x_2 - Ny_1y_2)^2 - N(x_1y_2 - x_2y_1)^2=1$이므로 $(x_1x_2 + Ny_1y_2,x_1y_2 + x_2y_1)$와 $(x_1x_2 - Ny_1y_2,x_1y_2 - x_2y_1)$도 해가 된다.

방정식 $x^2 -2y^2 =1$의 해인 $(3,2)$로 새로운 해 $(3\cdot 3+2\cdot 2\cdot 2, \;\;3\cdot 2+3\cdot 2)=(17,\;12)$을 얻을 수 있다. 얻어낸 두 해로 같은 계산을 되풀이하여 $(99,70)$을 얻을 수 있다. 되풀이하면 무한히 많은 해를 얻을 수 있다. 한편 방정식을 정리하면

$$N=\frac{x^2 -1}{y^2}=\bigg(\frac{x}{y}\bigg)^2 -\frac{1}{y^2}$$

이다. $y\rightarrow \infty$라고 하면 $\displaystyle{\frac{x}{y} \rightarrow \sqrt{N}}$이다.(쌍곡선의 점근선 기울기를 생각하면 된다.) 그러므로 펠 방정식의 정수해를 구함으로써 제곱근의 근삿값을 구할 수 있다.

http://en.wikipedia.org/wiki/Pell%27s_equation

Pell's equation - Wikipedia