무한등비수열의 극한

등비수열 $\{r^n \}$의 극한을 알아보자.

1) $r>1$일 때, $r=1+h$라고 하자.($h>0$)

   $\forall n\in \mathbb{N}$에 대하여 $r^n =(1+h)^n \geq 1+nh$이다.

   $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow \infty}(1+nh)=\infty}$이므로

    $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow \infty}r^n =\infty}$

2) $r=1$일 때는 $r^n \rightarrow 1$임이 명백하다.

3) $|r|<1$일 때,

    $r=0$일 때는 $r^n \rightarrow 0$임이 명백하다.

    $r\not=0$일 때는 $\displaystyle{r=\frac{1}{t}}$이라고 하자.

    $|t|>1$이므로 1)에 따라 $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow \infty}|t^n |=\infty}$이다.

    $\therefore \;\;\displaystyle{\lim_{n\rightarrow \infty}|r^n |=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{|t^n |}=0}$

4) $r=-1$일 때, 발산(진동)한다.

5) $r<-1$일 때, $|r|>1$이므로 $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow \infty}|r^n |=\infty}$이다. 따라서, 발산(진동)한다.

참고로 지수함수의 그래프는 아래와 같다.