2016학년도 카이스트 논술_01

중심이 원점이고 초점이 $x$축 위에 있는 타원이 있다. 이 타원의 장축의 길이가 $2a$이고 단축의 길이가 $2b$ 일 때, 이 타원을 $E_{a,b}$라고 하자.($a>b>0$)

1) 음함수의 미분법을 이용하여 타원 $E_{a,b}$ 위의 점 $(x_0 ,y_0 )$에서의 접선의 방정식을 구하시오.(2점)

2) 타원 $E_{a,b}$ 밖의 점 $P_1 =(x_1 ,y_1 )$에서 타원 $E_{a,b}$에 두 개의 접선을 그을 때 만들어지는 두 접점을 지나는 직선의 방정식을 구하시오.(3점)

3) 어떤 실수 $t_1$에 대하여 $P_1 =(2a\cos t_1 ,2b\sin t_1)$이라고 하자. $P_1$에서 타원 $E_{a,b}$에 두 개의 접선을 그을 때 만들어지는 두 접점을 구하시오. 또한, 세 꼭짓점이 모두 타원 $E_{2a,2b}$위에 있고 세 변이 모두 타원 $E_{a,b}$와 접하는 삼각형을 구하시오. (5점)

풀이

1) 타원 $E_{a,b}$의 방정식은 $b^2 x^2 +a^2 y^2 =a^2 b^2$이다.

음함수의 미분법으로 미분하면

$$2b^2 x+2a^2 y \frac{dy}{dx}=0$$

$$\frac{dy}{dx}=-\frac{b^2 x}{a^2 y}$$

따라서 $(x_0 ,y_0 )$에서 접선의 기울기는 $$\frac{dy}{dx} \bigg|_{(x_0 ,y_0)}= -\frac{xb^2_0}{a^2y_0}$$

이다. 따라서 접선의 방정식은

$$y-y_0 =-\frac{b^2x_0}{a^2y_0}(x-x_0)$$

$$b^2 x_0 x+a^2 y_0 y=a^2 b^2$$

2) 먼저 점 $P_1 =(x_1 ,y_1 )$에서 타원 $E_{a,b}$에 두 개의 접선을 그을 때 만들어지는 두 접점을 각각 $A(x_0 ,y_0 )$,$B(x_2 ,y_2 )$라고 하자. 1)에 따라 두 접선은 각각

$$b^2 x_0 x+a^2 y_0 y=a^2 b^2,\;\;b^2 x_2 x+a^2 y_2 y=a^2 b^2$$이다. 이 두 직선이 모두 $P_1 =(x_1 ,y_1 )$을 지나므로

$$b^2 x_0 x_1+a^2 y_0 y_1=a^2 b^2,\;\;b^2 x_2 x_1+a^2 y_2 y_1=a^2 b^2$$이 성립한다.

이 두 방정식은 직선 $$b^2 x_1 x+a^2 y_1 y=a^2 b^2$$이 두 점 $A(x_0 ,y_0 )$,$B(x_2 ,y_2 )$을 지나는 것을 나타낸다고 볼 수 있다. 따라서 두 접점을 지나는 직선의 방정식은

$$b^2 x_1 x+a^2 y_1 y=a^2 b^2$$이다.

3) 2)에서 구한 바를 활용하면 점 $P_1 =(2a\cos t_1 ,2b\sin t_1)$에서 그은 두 접점을 지나는 직선의 방정식은

$$b^2 2a(\cos t_1) x+a^2 2b(\sin t_1) y=a^2 b^2$$이다. 정리하면

$$2b (\cos t_1 )x+2a(\sin t_1 )y=ab$$이다. 한편, 접점은 타원 $b^2 x^2 +a^2 y^2 =a^2 b^2$ 위의 점이므로 $(a\cos t_2 , b \sin t_2)$라고 놓을 수 있다. 이 점이 위에 적은 직선 위에 있으므로

$$2b \cos t_1 a\cos t_2+2a\sin t_1 b\sin t_2=ab$$이고 이를 정리하면

$$ \cos t_1 \cos t_2+\sin t_1 \sin t_2=\frac{1}{2}$$이다.

삼각함수의 덧셈정리에 따라

$$\cos(t_1 -t_2 )=\frac{1}{2}$$이므로

$$t_1 -t_2 =\pm\frac{\pi}{3}$$

따라서 두 접점을 구하면 $$\bigg(a\cos\bigg(t_1\pm\frac{\pi}{3}\bigg),b\sin\bigg(t_1\pm\frac{\pi}{3}\bigg)\bigg)$$이다.

반지름이 각각 $r, 2r$인 두 원을 생각하면 큰 원에 내접하고 작은 원에 외접하는 정삼각형이 존재한다.

 

이 두 원을 주어진 타원으로 아래와 같이 변환하면 문제에서 요구하는 삼각형을 그릴 수 있다.

$$x^\prime=\frac{r}{a}x,\quad y^\prime=\frac{r}{b}y$$

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