실수의 차례 성질

이 꼭지는 고등학교 수학에서 다루는 극한을 더욱 엄밀하게 다루고 싶은 이들을 위해 적는다. 극한을 제대로 다루기 위해서는 먼저 실수에 대한 엄밀한 해석이 필요하다. 여기서는 실수가 가진 차례 성질을 다음에는 완비성(completeness)를 다루고자 한다.

실수도 자연수와 마찬가지로 차례가 정해져 있다.

실수의 차례 성질(The Oder Properties of $\mathbb{R}$)

공집합이 아닌 실수의 부분집합 $P\subset \mathbb{R}$이 아래를 모두 만족하면 엄격한 양의 실수(strictly positive real number)라고 부른다. 증명없이 참으로 인정하는 최소한의 것이 성질이다. 공리와 같은 뜻으로 받아들이자.

1) $a,b \in P\Rightarrow a+b\in P$

2) $a,b \in P \Rightarrow ab\in P$

3) $a\in\mathbb{R}$이면 $a\in P, a=0, -a\in P$ 가운데 단 하나를 만족한다.

1) 2)는 덧셈과 곱셈에 대하여 닫혀있다는 것이고 3)은 실수는 셋으로 구별한다는 것이다.

정의 $a\in P$이면 엄격한 양의(strictly positive) 실수로 부르고 $a>0$로 적는다.  $a\in P\cup\{0\}$이면 양의(positive) 실수로 부르고 $a\geq 0$로 적는다.

$-a\in P$이면 엄격한 음의(strictly negative) 실수로 부르고 $a<0$로 적는다. $-a\in P\cup\{0\}$이면 음의(negative) 실수로 부르고 $a\leq 0$로 적는다.

$0$은 양의 실수이면서 동시에 음의 실수이다. 양의 실수나 음의 실수는 완전하게 표준인 표현이 아니다. 양의 실수라는 말보다 음이 아닌 실수(non-negative)로 표현하기도 한다.

실수는 아래와 같은 대수 성질(Algebraic Properties of $\mathbb{R}$)을 가지고 있다. 실수와 같은 구조를 가진 집합을 체(field)라고 정의하는데 이때 아래 성질이 바로 공리이다.

1. $\forall\;a,b\in \mathbb{R},\;\;\;a+b\in \mathbb{R},\;\;a\cdot b \in \mathbb{R}$. 
   두 이항연산( binary operations ) 덧셈(+)과 곱셈($\cdot$)에 대하여 닫혀있다.
2. $\forall\;a,b,c\in \mathbb{R},\;\;\;(a+b)+c=a+(b+c),\;\;(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)$
   결합법칙이 성립한다.
3. $\forall\;a,b\in \mathbb{R},\;\;a+b=b+a,\;\;a \cdot b=b\cdot a$
   교환법칙이 성립한다.
4. $\forall a\in \mathbb{R}$에 대하여 $a+0=a,\;\;a\cdot 1=a$인 $0, 1 \in \mathbb{R}$이 존재한다.
   덧셈과 곱셈에 대한 항등원이 존재한다.
5. $\forall a \in \mathbb{R}$에 대하여 $a+(-a)=0, \;\;a\cdot a^{-1} =1$인 $-a, a^{-1}$이 존재한다.
   역원이 존재한다.
   
6. $\forall\;a,b,c\in \mathbb{R},\;\;\;a\cdot(b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$
   분배법칙이 성립한다.

이제 $(-a)b=-ab$를 보자. 위에 있는 공리로부터 이끌어 낼 수 있는 정리이다.

왼쪽은 $a$의 덧셈에 대한 역원에 $b$를 곱한 것이고 오른쪽은 $ab$의 덧셈에 대한 역원이다.

$(-a)b+ab=\{(-a)+a\}b=0\cdot b=0$
$\therefore (-a)b=-ab$

여기서 $0\cdot a=0$도 정리다. $a+a\cdot 0=a\cdot 1+a\cdot 0=a\cdot(1+0)=a\cdot1=a$이므로 $0\cdot a=0$이다.

정리 $a\in \mathbb{R}$일 때,

a) $a\cdot 0=0$  b) $(-1)\cdot a=-a$   c) $-(-a)=a$  d) $(-1)(-1)=1$     

다른 많은 정리들은 생략한다.

정의 $a,b \in \mathbb{R}$에서 부등호를 아래와 같이 정의한다.

1) $a-b\in P$이면 $a>b$ 또는 $b<a$

2) $a-b\in P\cup\{0\}$이면 $a\geq b$ 또는 $b\leq a$

아래 정리를 증명해 보자.

정리 $a,b,c \in \mathbb{R}$

a) $a>b\wedge b>c\Rightarrow a>c$

b) $a>b, a=b, a<b$ 가운데 하나를 만족한다.

c) $a\geq b\wedge b\geq a\Rightarrow a=b$

증명 "뭐 이런 것도 증명해야할까?" 생각하겠지만 나름 재미가 있다.

a) 정의에 따라 $a>b$이고 $b>c$이면 각각 $a-b\in P, b-c\in P$이다. 차례 성질(1)에 따라 $P$는 덧셈에 대하여 닫혀있으므로 $(a-b)+(b-c)=a-c\in P$이다. 따라서, $a>c$이다.

b) 차례 성질(2)에 따라 $a-b\in P, a-b=0, -(a-b)=b-a \in P$이다.

c) $a\not=b$라고 가정하면 $a-b\not=0$이므로 $a-b\in P$ 또는 $b-a\in P$이다. 즉, $a>b$ 또는 $b>a$인데 둘 모두 가정에 모순이다. 그러므로 $a=b$이다.

정리 a) $a\in \mathbb{R}, a\not=0\Rightarrow a^2 >0$

b) $1>0$

c) $n\in \mathbb{N}\Rightarrow n>0$

증명 a) $a\not=0$이므로 $a\in P$ 또는 $-a\in P$이다. $a\in P$라면 $a^2 \in P$이므로 당연하다. $-a\in P$라면 $(-a)(-a)\in P$이다. $$(-a)(-a)=(-1)(-1)\cdot a^2 =a^2 \in P$$

그러므로 $a\in \mathbb{R}, a\not=0\Rightarrow a^2 >0$

b) $1=1^2$이므로  a)에 따라 $1>0$

c) 수학적 귀납법에 따라 증명

정리 $\forall a,b\in\mathbb{R}$에서 $\displaystyle{a>b\Rightarrow a>\frac{1}{2}(a+b)>b}$

증명$2a=a+a>a+b, a+b>b+b=2b$이므로 $2a>a+b>2b$이다. $b=0$로 놓으면 $\displaystyle{a>\frac{1}{2}a>0}$인 따름정리를 얻는다.

정리 $a\in \mathbb{R}$가 $\forall \varepsilon>0$에 대하여 $0\leq a< \varepsilon$이면 $a=0$이다.

증명 $a>0$이라고 하자. 그러면 $\displaystyle{a>\frac{1}{2}a>0}$이다. $\displaystyle{\varepsilon_0 =\frac{1}{2}a}$으로 생각하면 $\displaystyle{a>\varepsilon_0>0}$이므로 모순이다. 그러므로 $a=0$이다.

정의 $a\in \mathbb{R}$

1) $\forall \varepsilon >0, V_{\varepsilon}(a)=\{x\in\mathbb{R}| |x-a|<\varepsilon\}$을 $a$의 $\varepsilon$-근방($\varepsilon$-neighborhood)으로 부른다.

2) $a$의 근방은 어떤 $a$의 $\varepsilon$-근방을 품고 있는 집합이다.

정리 $a\in \mathbb{R}$

$x\in \mathbb{R}$가 $a$의 모든 근방에 속한다면 $x=a$이다.

증명 $x$가 모든 $\varepsilon>0$의 $\varepsilon$-근방 $V_{\varepsilon}(a)$에 속한다고 하자.

$\forall \varepsilon>0$에 대하여 $0\leq|x-a|<\varepsilon$이다. 위 정리에 따라 $|x-a|=0$이다.