실수의 완비성(The Completeness Property of R)

유리수도 실수와 마찬가지로 체(field)이므로 차례(ordering property)와 대수(algebraic property) 성질을 가지고 있다. 이 꼭지에서는 유리수와 구별되는 실수의 완비성(The Completeness Property of R)에 대하여 정리해 보자. 완비는 빈틈이 전혀 없이 꽉 채워진 것을 뜻한다.

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정리 $x^2 =2$인 유리수는 존재하지 않는다.

증명 방정식 $x^2 =2$의 근이 유리수라고 하자.

서로소인 두 정수 $p$와 $q$에 대하여 $\displaystyle{\bigg(\frac{p}{q}\bigg)^2 =2}$이다.

$p^2 =2q^2$이므로 $p$는 짝수이다. 그러므로 $q$는 반드시 홀수라야 한다. 

하지만 $p=2m$으로 놓으면 $(2m)^2 =4m^2 =2q^2$이고 $q^2 =2m^2$이므로 $q$도 짝수이다.

이것은 $p$와 $q$가 서로소라는 가정에 모순이다. 따라서, $x^2 =2$인 유리수는 존재하지 않는다.

위 증명으로 유리수는 빈틈이 있음을 보였다. 유리수는 자연수나 정수와 마찬가지로 번호를 매겨 셀 수 있는 집합(countable)이지만 실수는 셀 수 없는 집합(uncountable)이다.

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정의 $S\not=\phi, S\subset\mathbb{R}$라고 하자.

$\forall s\in S$에 대하여 $s\leq u$인 실수 $u$가 존재할 때 $S$는 위로 유계(bounded above)라 한다.

$w\leq s$인 실수 $w$이 존재할 때 $S$는 아래로 유계(bounded bellow)라 한다.

이 때 $u$을 $S$의 상계(upper bound), $w$을 $S$의 하계(lower bound)라 한다. $S$가 위로 유계이며 동시에 아래로 유계일 때 $S$는 유계(bounded)라 한다.

실수의 부분집합이 반드시 상계가 있는 것이 아니다. 하지만 어떤 집합 $S$가 상계를 가지면 무한히 많은 상계를 가진다. $u$가 $S$의 상계라면 $u\leq v$인 모든 실수 $v$는 상계임이 자명하다.

정의 $S$가 위로 유계이고 $u$을 $S$의 상계라 하자. 모든 $u$에 대하여 $s\leq u$인 $s$를 $S$의 최소상계(a least upper bound), 또는 상한(supremum)이라 하고, $s=sup S$로 나타낸다.

또한, $S$를 아래로 유계라 하고 $w$을 $S$의 하계라 하자. 모든 $w$에 대하여 $w\leq i$인 $i$를 $S$의 최대하계(a greatest
lower bound), 또는 하한(infimum)이라 하고, $i=inf S$로 나타낸다.

상한의 정의를 아래와 같은 두 조건을 모두 만족한다고 표현하기도 한다.

1) $\forall s\in S, s\leq u$

2) $\forall s\in S , s\leq v \Rightarrow u\leq v$

쉽게 이해할 수 있게 하는 정리가 있다.

보조정리 $S\not=\phi, S\subset \mathbb{R}$이라고 하자.

$S$의 상계인 $u$가 상한이 될 필요충분조건은 각 $\varepsilon>0$마다 $u-\varepsilon<s_{\varepsilon}$인 $s_{\varepsilon}\in S$이 존재하는 것이다.

증명 $u$가 조건을 만족한다고 하자.

$v$가 $u\not=v$인 상계라고 하고 $v<u$라고 가정하자.

$u-v>0$이므로 $\varepsilon=u-v$로 놓으면 $v=u-\varepsilon<s_{\varepsilon}$인 $s_{\varepsilon}\in S$이 존재한다.

이것은 $v$가 상계라는 가정에 모순이다. 그러므로 $u<v$이다.

$\therefore\;\;u=sup S$

역으로 $u=sup S$라고 하자.

$\varepsilon>0$에 대하여 $u-\varepsilon<u$이므로 $u-\varepsilon\in S$이다.

$u-\varepsilon<s_{\varepsilon}\in S$인 $s_{\varepsilon}$이 존재한다. 증명끝.

보기

1. $S_1$이 유한집합이면 최대 원소 $u$와 최소 원소 $w$가 항상 존재한다. 그러면 $u=sup S$, $w=inf S$이다.

2. $S_2 =\{x\in \mathbb{R} | 0\leq x\leq 1\}$이라고 하면 $1$은 상계이다. $1\in S$이므로 $S_2$의 모든 상계 $v$는 $1<v$를 만족한다. 그러므로 $1=sup S_2$이다. 마찬가지로 $0=inf S_2$이다. $S_2$는 상한과 하한을 원소로 가진다.

3. $S_3 =\{x\in \mathbb{R} | 0<x<1\}$이라고 하면 $1$은 상계이다. $0<\varepsilon\leq1$이라고 가정하면 $\displaystyle{s_{\varepsilon}=1-\frac{\varepsilon}{2}\in S_3}$이다. $1-\varepsilon<s_{\varepsilon}$을 만족하므로 $1=sup S_3$이다. 마찬가지로 $0=inf S$이다. $S_3$은 상한과 하한을 원소로 가지지 않는다.

보기와 같이 어떤 집합의 상한과 하한은 그 집합의 원소일 수도 있고 아닐 수도 있다. 어떤 집합이 상한을 원소로 가질 때 그 상한을 집합의 최댓값(maximum) 하한을 원소로 가질 때 그 하한을 집합의 최솟값(minimum)으로 부른다.

실수의 상한 성질(The Supremum Property of $\mathbb{R}$)

공집합이 아닌 위로 유계인 집합 $S$는 항상 그 상한이 존재한다.

참고 : 이 성질이 완비성 공리 (completeness axiom)이다.

아르키메디안 정리 (Archimedean Theorem)

$x\in \mathbb{R}$이면 $x<n_x$인 자연수 $n_x$가 존재한다.

증명 결론을 부정하면 $x$는 자연수 집합 $\mathbb{N}$의 상한이다. 정리에 따라 집합 $\mathbb{N}$의 상한 $u$이 존재한다.

$u-1<u$이므로 $u-1<m<u$인 자연수 $m$이 존재한다. 그러나 $u<m+1$이므로 모순이다.($\because m+1\in \mathbb{N}$)

위 정리는 아래와 같이 적을 수 있다.

양의 실수 $y>0,z>0$에 대하여 아래를 만족하는 자연수 $n$이 존재한다.

1) $z<ny$   2) $\displaystyle{0<\frac{1}{n}<y}$   3) $n-1<z<n$

증명 1) $\displaystyle{x=\frac{z}{y}}$로 놓는다.

2) 1)에서 $z=1$로 놓는다.

3) $\{m\in \mathbb{N}|z<m \}$로 놓자. $n$을 이 집합의 최솟값이라고 하면 $n-1\leq z<n$이다.

이제 $\sqrt2$의 존재를 밝혀보자.

정리 $x^2 =2$인 양의 실수 $x$가 존재한다.

증명 $S=\{s\in \mathbb{R}|0\leq s, s^2 <2\}$라고 하자.

$1\in S$이므로 $S\not=\phi$이고 $t>2$라면 $t^2 >4$이므로 $2$에 의해 위로 유계이다. 그러므로 상한 성질에 따라 상한 $sup S$이 존재한다. 이제 $x=sup S$라고 하자.

이제 $x^2 =2$임을 증명하자.

1) $x^2 <2$라고 하자.

$2-x^2>0$이므로 $\displaystyle{\frac{2-x^2 }{2x+1}>0}$이다.

아르키메디안 정리에 의해 $\displaystyle{\frac{1}{n}<\frac{2-x^2}{2x+1}}$인 $n$을 얻을 수 있다.

$$\bigg(x+\frac{1}{n}\bigg)^2 =x^2 +\frac{2x}{n}+\frac{1}{n^2}=x^2 +\frac{1}{n}\bigg(2x+\frac{1}{n}\bigg)$$

$$\leq x^2 +\frac{1}{n}\bigg(2x+1 \bigg)<x^2+(2-x^2 )=2$$

$\displaystyle{x<x+\frac{1}{n}\in S}$이므로 $x=sup S$라는 가정에 모순이다.

2) $x^2 >2$라고 하자.

$x^2 -2>0$이므로 $\displaystyle{\frac{x^2 -2}{2x}>0}$이다.

아르키메디안 정리에 의해 $\displaystyle{\frac{1}{m}<\frac{x^2 -2}{2x}}$인 $m$을 얻을 수 있다.

$$\bigg(x-\frac{1}{m}\bigg)^2 =x^2 -\frac{2x}{m}+\frac{1}{m^2}>x^2 -\frac{2x}{m}>x^2-(x^2 -2)=2$$

$\forall s\in S$에 대하여 $\displaystyle{x-\frac{1}{m}>s}$이므로 상계이고 $\displaystyle{x-\frac{1}{m}<x}$이다.

$x=sup S$라는 가정에 모순이다.

1) 2)에 의하여 $x^2 =2$이다.

맨 위에서 증명했듯이 $x^2 =2$인 유리수는 존재하지 않는다. 실수 가운데 유리수가 아닌 수가 존재함을 밝힌 것이다. 유리수(rational number)가 아닌 실수를 무리수(irrational number)라고 한다. rational을 번역할 때 비율(ratio)보다 합리적(rational)에 주목한 것으로 보인다. 때문에 유비수와 무비수로 부르자는 주장도 있다. 유리수도 실수와 마찬가지로 빽빽하지만 무리수라는 빈틈이 있다. 실수는 빈틈이 없이 완전하게 꽉 차있는 완비성(completeness property)이 있음을 알아 보았다. 

조밀성 정리

$x,y\in \mathbb{R}$이고 $x<y$라고 하면 반드시 $x<r<y$인 유리수 $r$이 존재한다.

증명 $x>0$이라고 가정해도 일반성을 잃지 않는다.

아르키메데스 정리에 의해 $\displaystyle{n>\frac{1}{y-x}}$인 자연수 $n$이 존재한다.

$ny-nx>1$이다. $nx>0$이므로 $m-1\leq nx<m$인 자연수 $m$을 얻을 수 있다.

$m\leq nx+1<ny$이므로 $m<ny$이다.

$nx<m<ny$이므로 $\displaystyle{r=\frac{m}{n}}$으로 생각하면 $r$은 유리수이고 $x<r<y$이다. 

따름정리

$x,y\in \mathbb{R}$이고 $x<y$라고 하면 반드시 $x<z<y$인 무리수 $z$가 존재한다.

증명 위 정리에 따라 두 실수 $\displaystyle{\frac{x}{\sqrt2},\frac{y}{\sqrt2}}$ 사이에 아래를 만족하는 유리수 $r$이 존재한다.

$$\displaystyle{\frac{x}{\sqrt2}<r<\frac{y}{\sqrt2}}$$

$z=r\sqrt2$는 정리를 만족하는 무리수이다.

완비성을 공리로 보아 논리를 전개하기도 한다. 때문에 우리는 실수로 이루어진 선이 같은 평면에서 엇갈리면 교점이 반드시 생긴다고 생각하는 것이다. 유리수 점만 가진 직선은 서로 교차하더라도 교점이 없을 수도 있음을 생각하자.