접촉원과 곡률

곡률(curvature)은 곡선이 굽은 정도를 나타내는 것이다. 곡률을 구하기 위하여 먼저 접촉원(osculating circle)을 정의하자. 입맞춤을 뜻하는 osculate는 접선과 같은 개념이다. 곡선 $C$ 위의 점 $P$에서 접촉원의 반지름 $r$이 곡률 반지름이고 역수가 바로 곡률이다. 

$$\kappa =\frac{1}{r}$$ 

 

아래와 그림과 같이 곡선 $y=f(x)$ 위의 세 점 $P,P_1 ,P_2 $을 지나는 원을 생각하자. 이제 $P_1 ,P_2$가 한없이 $P$에 가까워 질 때 생기는 원의 극한이 바로 접촉원이다. 접선이 곡선의 아주 짧은 구간을 직선으로 생각하듯이 곡선의 아주 짧은 구간을 원으로 생각하는 것이다.

 

아래 그림에서 곡률 반지름을 구해보자. 두 점 $P, Q$에서 접선 벡터와 각 벡터에 수직인 법선 벡터가 이루는 각을 $\theta$라고 하자. 호 $PQ$가 곡선 $PQ$와 같다고 하면 부채꼴의 중심각도 $\theta$이다. 호$PQ$의 길이를 $s$라고 하면 $s=r\theta$이므로

$$r=\bigg|\lim_{P\rightarrow Q}\frac{\Delta PQ}{\Delta \theta}\bigg|=\bigg|\lim_{\theta \rightarrow 0}\frac{s}{\theta}\bigg|=\bigg|\frac{ds}{d\theta}\bigg|$$ 

 

곡선 $C$가 $x=x(t), y=y(t)$와 같이 매개변수로 주어졌다고 하자.

$$r=\bigg|\frac{ds}{d\theta}\bigg|=\bigg|\frac{ds}{dt}\frac{dt}{d\theta}\bigg|$$

이다. 곡선 길이를 미분하면

$$\frac{ds}{dt} = \sqrt{ \bigg( \frac{dx}{dt} \bigg)^2 +\bigg(\frac{dy}{dt}\bigg)^2} = \sqrt{{x^{\prime}}^2+{y^{\prime}}^2}$$

$\theta$가 아주 작은 각이라고 하면

$$\tan\theta=\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\frac{dt}{dx}=\frac{y^{\prime}}{x^{\prime}}$$

이다. 양변을 미분하자.

$$\frac{d}{dt}\bigg(\tan\theta\bigg)=\frac{d}{dt}\bigg( \frac{y^{\prime}}{x^{\prime}}\bigg)$$

$$\frac{1}{\cos^2 \theta}\frac{d\theta}{dt}=  \frac{y^{\prime\prime} x^{\prime}-x^{\prime\prime}y^{\prime}}{{x^{\prime}}^2}$$

$$(1+\tan^2 \theta)\frac{d\theta}{dt} =  \frac{y^{\prime\prime} x^{\prime}-x^{\prime\prime}y^{\prime}} {{x^{\prime}}^2}$$

$$\frac{dt}{d\theta}=\frac{(1+\tan^2 \theta){x^{\prime}}^2} {y^{\prime\prime} x^{\prime}-x^{\prime\prime}y^{\prime}} $$

$$\frac{dt}{d\theta}=\frac{{x^{\prime}}^2 +{y^{\prime}}^2} {y^{\prime\prime} x^{\prime}-x^{\prime\prime}y^{\prime}} $$

마지막으로 이를 정리하면 아래와 같다.

$$\frac{ds}{d\theta}=\frac{ds}{dt}\frac{dt}{d\theta}=\sqrt{{x^{\prime}}^2+{y^{\prime}}^2}\cdot \frac{{x^{\prime}}^2 +{y^{\prime}}^2} {y^{\prime\prime} x^{\prime}-x^{\prime\prime}y^{\prime}} $$

이 값의 부호는 움직이는 방향에 따라 결정된다. 시계방향일 때 음이라면 반대 방향일 때는 양이다. 부호가 있는 곡률은 아래와 같다.

보통 곡률반지름은 절댓값으로 정의하고 직선일 때는 $r=\infty$로 생각하자 .

곡률은 아래와 같이 구할 수 있다.

$$\kappa= \frac{|y^{\prime\prime} x^{\prime}-x^{\prime\prime}y^{\prime}|} {({x^{\prime}}^2 +{y^{\prime}}^2)^{\frac{3}{2}} }$$

보기 이차곡선인 포물선 $y=x^2$의 곡률 반지름과 곡률을 구해 보자.

먼저 매개변수로 나타내면 $x=t, y=t^2$이다.

$$x^{\prime} =1 ,y^{\prime}=2t, x^{\prime\prime}=0, y^{\prime\prime}=2$$

$$r=\frac{(1+4t^2)^{\frac{3}{2}}}{2}=\frac{(1+4x^2)^{\frac{3}{2}}}{2}$$

$$\kappa=\frac{2}{(1+4t^2)^{\frac{3}{2}}}=\frac{2}{(1+4x^2)^{\frac{3}{2}}}$$

이것을 같은 평면에 나타내면 아래와 같다.

 

3차원 곡선 $C$가 $\mathbb{x=x}(s)$로 주어졌다고 하자.

접선 벡터(tangent vector)는 $\displaystyle{\mathbb{t=t}(s)=\frac{dx}{ds}(s)=\dot{\mathbb{x}}(s)}$이다.

$$\frac{d\mathbb{t}}{ds}=\dot{\mathbb{t}}(s)=\ddot{\mathbb{x}}(s)$$

이 벡터 $\dot{\mathbb{t}}$를 곡률 벡터(curvature vector)라고 하고 $\kappa=\kappa(s)$로 나타낸다.

이 벡터의 크기가 곡률(curvature)이다. 곡률반지름 $\displaystyle{\rho= \frac{1}{|\kappa(s)|}}$이다.

이제 $x=x(t)$로 나타내어진 곡선의 곡률을 구해보자.

$$x^{\prime}=\frac{dx}{dt}=\frac{dx}{ds}\frac{ds}{dt}=\dot{x}s^{\prime},\;\;x^{\prime\prime}=\frac{d}{dt}(\dot{x}s^{\prime})=\dot{x}\frac{d s^{\prime}}{dt}+s^{\prime}\frac{d\dot{x}}{dt}=\dot{x}s^{\prime\prime}+(s^{\prime})^2\ddot{x}$$

$$x^{\prime}\times x^{\prime\prime}=(\dot{x}s^{\prime})\times(\dot{x}s^{\prime\prime}+(s^{\prime})^2\ddot{x})=(s^{\prime})^3(\dot{x}\times\ddot{x})=|x^{\prime}|^3(\dot{x}\times\ddot{x})$$

$$|x^{\prime}\times x^{\prime\prime}|= |x^{\prime}|^3|\dot{x}\times\ddot{x}|=|x^{\prime}|^3|\dot{x}||\ddot{x}|\cos\measuredangle(\dot{x},\ddot{x})$$

$\dot{x}=t$와 $\ddot{x}=\dot{t}$는 서로 수직($\cos\measuredangle(\dot{x},\ddot{x})=1$)이고 $|\dot{x}|=1$, $|\ddot{x}|=|\dot{t}|=|\kappa|$이므로

$$|\kappa|=\frac{|x^{\prime}\times x^{\prime\prime}|}{|x^{\prime}|^3}$$

 

참고 http://en.wikipedia.org/wiki/Curvature#Precise_definition

http://en.wikipedia.org/wiki/Lissajous_curve