매개변수 방정식의 그래프

수학이야기 2015. 5. 27. 13:18
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 어떤 곡선은 $y=f(x)$의 꼴로 나타낼 수 없다. 이럴 때 점의 좌표를 시간의 함수로 보아 $x=f(t),\;\;y=g(t)$의 꼴로 나타낸다.

$$x=f(t),\;\;y=g(t)$$

이것이 매개변수 방정식이다. 이때 변수 $t$를 매개변수로 부른다. 매개변수를 소거하여 쉽게 그래프를 그릴 수 있는 경우도 많다. 하지만 대체로 매개변수 방정식으로 표현된 곡선의 그래프를 그리는 일은 쉽지 않다.

먼저 쉬운 경우를 살펴보자.

$$x=t^2 -2t,\;\;y=t+1$$

 아래 표와 같이 매개변수에 따른 $x,y$ 값을 조사하여 그릴 수 있다.

$t$ 

 $x$

 $y$

 $-2$

$ 8$

 $-1$

 $-1$

$ 3$

 $0$

$ 0$

 $0$

 $1$

 $1$

 $-1$

$ 2$

 $2$

 $0$

$ 3$

 $3$

 $3$

 $4$

 $4$

 $8$

 $5$

하지만 매개변수를 쉽게 소거할 수 있으므로 아래와 같이 포물선의 방정식으로 바꿔서 그래프를 그릴 수 있다.

$$x=(y-1)^2 -2 (y-1)=y^2 -4y+3$$

$$x=\cos t,\;\;y=\sin t$$

은 원의 방정식임을 아주 쉽게 알 수 있다.

이제 어려운 경우를 보자. 아래와 같은 방정식은 $y=f(x)$의 꼴로 정리하기 어렵다. $t$ 값에 따라 변하는 $x,y$ 값을 구해 그래프를 그려야 한다.

$$x=\cos t,\;\;y=\sin 2t$$

널리 알려진 특수한 곡선 가운데 몇몇을 매개변수 방정식을 보고 싶다면 아래 연결고리를 눌러 보자.

사이클로이드

하이포사이클로이드

에피사이클로이드

아그네시의 마녀

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