매개변수 방정식의 그래프

 어떤 곡선은 $y=f(x)$의 꼴로 나타낼 수 없다. 이럴 때 점의 좌표를 시간의 함수로 보아 $x=f(t),\;\;y=g(t)$의 꼴로 나타낸다.

$$x=f(t),\;\;y=g(t)$$

이것이 매개변수 방정식이다. 이때 변수 $t$를 매개변수로 부른다. 매개변수를 소거하여 쉽게 그래프를 그릴 수 있는 경우도 많다. 하지만 대체로 매개변수 방정식으로 표현된 곡선의 그래프를 그리는 일은 쉽지 않다.

먼저 쉬운 경우를 살펴보자.

$$x=t^2 -2t,\;\;y=t+1$$

 아래 표와 같이 매개변수에 따른 $x,y$ 값을 조사하여 그릴 수 있다.

$t$	$x$	$y$
$-2$	$ 8$	$-1$
$-1$	$ 3$	$0$
$ 0$	$0$	$1$
$1$	$-1$	$ 2$
$2$	$0$	$ 3$
$3$	$3$	$4$
$4$	$8$	$5$

하지만 매개변수를 쉽게 소거할 수 있으므로 아래와 같이 포물선의 방정식으로 바꿔서 그래프를 그릴 수 있다.

$$x=(y-1)^2 -2 (y-1)=y^2 -4y+3$$

$$x=\cos t,\;\;y=\sin t$$

은 원의 방정식임을 아주 쉽게 알 수 있다.

이제 어려운 경우를 보자. 아래와 같은 방정식은 $y=f(x)$의 꼴로 정리하기 어렵다. $t$ 값에 따라 변하는 $x,y$ 값을 구해 그래프를 그려야 한다.

$$x=\cos t,\;\;y=\sin 2t$$

널리 알려진 특수한 곡선 가운데 몇몇을 매개변수 방정식을 보고 싶다면 아래 연결고리를 눌러 보자.

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아그네시의 마녀