극좌표(Polar Coordinate)

평면에 있는 점의 위치를 나타내는 좌표계(coordinate system)는 좌표라고 부르는 순서쌍으로 나타낸다. 보통 수직인 두 축까지 거리를 쓰는 데카르트 좌표를 사용한다. 여러 가지로 편리한 표현이지만 때로는 뉴턴이 소개한 극좌표를 쓰는 것이 편리하다.

극좌표를 살펴보자. 평면 위 점을 하나 골라 극(pole) 또는 원점(origin)으로 부르고 $O$로 적는다. $O$를 시작점으로 하는 반직선을 그리고 극축(Polor axis)으로 부르자. 보통 데카르트 좌표계에서 $x$축 양의 방향을 극축으로 잡는다. 이제 점 $P$가 극(원점)과 떨어진 거리 $|\overrightarrow{OP}|=r$과 $\overrightarrow{OP}$이 극축과 이루는 각(radian) $\theta$의 순서쌍 $(r,\theta)$으로 나타내고 이를 극좌표라고 한다. $r=0$이면 $\theta$값에 관계없이 원점을 나타낸다. 이제 의미를 넓혀서 $r<0$일 때도 생각하자. $r>0$일 때, $(-r,\theta)$는 $(r,\theta)$를 원점에 대하여 대칭이동한 점으로 생각하자. 다시 적으면 $(-r,\theta)=(r, \theta +\pi)$이다. 이렇게 나타내는 시스템을 극좌표계(Polar coordinate system)이라고 한다.

 

 

 

polorcoordinate.ggb

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복소수의 극형식을 배웠다면 더 쉽게 이해할 수 있을 것이다.

문제 아래 극좌표가 나타내는 점을 찍어보아라.

$1) \;\;(1,\frac{5}{4}\pi)\quad\quad 2)\;\;(2,3\pi)\quad\quad 3)\;\;(2, -\frac{2}{3}\pi)\quad\quad4)\;\;(-3,\frac{3}{4}\pi)$

데카르트 좌표계는 점 하나를 나타내는 좌표가 단 하나이지만 극좌표계는 같은 점을 나타내는 좌표가 무수히 많다. 동경 하나가 여러 각을 나타내기 때문이다. 점 $(r,\theta)$를 일반각으로 나타내면 아래와 같다. 

$$(r,\theta+2n\pi),\;\;\;\;(-r,\theta+(2n+1)\pi)$$

 

극좌표와 데카르트 좌표는 아래와 같은 관계가 있다.

 

$$\cos\theta=\frac{x}{r} ,\;\;\sin\theta =\frac{y}{r}$$

정리하면

$$x=r\cos\theta ,\;\;y=r\sin\theta$$

극방정식으로 나타낸 곡선(Polor Curve)

극방정식 $r=f(\theta)$으로 나타낸 곡선의 그래프를 그려보자.

1. $r=2$

2. $\theta=1$

위 방정식이 원과 직선을 나타내는 것은 자명하다.

3. $r=2\cos\theta$의 그래프를 그리고 데카르트 방정식을 찾아라.

 

4. $r=1+\sin \theta$의 그래프는 아래와 같음을 확인하여라.

 

참고 cardioid

5. $r=\cos2\theta$의 그래프를 그려보아라.

6. $r=\displaystyle{\frac{1}{2\pi}\theta}$의 그래프를 그려보아라.(참고 http://en.wikipedia.org/wiki/Archimedean_spiral)

데카르트 방정식을 극방정식으로 바꾸는 일은 아래와 같다.

 

 

 

원뿔 곡선을 극방정식으로 나타내 보자.

먼저 원뿔 곡선엔 이심률이 있다. 준선과 초점에 이르는 거리의 비율이다. 초점을 $F$ 곡선 위의 점 $P$에서 준선에 내린 수선의 발을 $D$라고 하면 이심률 $e$은 아래와 같다.

$$\frac{\overline{PF}}{\overline{PD}}=e$$

포물선을 예로 들면 아래 그림과 같다.

 

$$\overline{PF}=e\overline{PD}$$

$$r=e(d-r\cos\theta)$$

정리하면

$$r=\frac{ed}{1+e\cos\theta}$$