곡선의 길이(Arc Length)

곡선 $y=f(x)$을 아래와 같이 다각형으로 잘라서 길이를 구한다. 근삿값의 수열이 극한이 있다면 이를 길이로 정의한다.

 

 

$x=a,\;\;x=b$ 사이를 $n$등분하여 $x_n$을 잡고 $P_i (x_i ,y_i )$로 놓자.

$$x_i =a+i\Delta x\;\;\bigg(\Delta x=\frac{b-a}{n}\bigg)$$

곡선의 길이를 $L$이라고 하면

$$\begin{equation}L=\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{i=1}^{n}\big|P_i -P_{i-1}\big|\end{equation}$$

이다. 이제 이 식을 정리해 보자.

$\Delta y_i =y_i -y_{i-1}$라고 하면

$$\big|P_i -P_{i-1}\big|=\sqrt{(x_i -x_{i-1})^2 +(y_i -y_{i-1})^2}=\sqrt{(\Delta x_i )^2 +(\Delta y_i)^2}$$

평균값에 정리에 의해 구간 $[x_{i-1},x_i]$에 아래를 만족하는 $x_i^*$가 존재한다.

$$f(x_i)-f(x_{i-1})=f^{\prime}(x_i^*)(x_i -x_{i-1})$$

$$\Delta y_i =f^{\prime}(x_i^*)\Delta x$$

따라서,

$$\big|P_i -P_{i-1}\big|=\sqrt{(\Delta x_i )^2 +(\Delta y_i)^2}=\sqrt{(\Delta x_i )^2 +[f^{\prime}(x_i^*)\Delta x]^2}$$

$$=\sqrt{ 1 +[f^{\prime}(x_i^*)]^2}\sqrt{ (\Delta x_i )^2}=\sqrt{ 1 +[f^{\prime}(x_i^*)]^2}\Delta x_i $$

이를 정의에 대입하면

$$L=\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{i=1}^{n}\big|P_i -P_{i-1}\big|=\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{i=1}^{n}\sqrt{ 1 +[f^{\prime}(x_i^*)]^2}\Delta x$$

$$\therefore L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+[f^{\prime}(x)]^2}dx$$

다시 적으면

구간 $[a,b]$에서 연속인 곡선 $y=f(x)$의 길이는

$$L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+\bigg(\frac{dy}{dx}\bigg)^2}dx$$

곡선이 $x=f(t)\;\;y=g(t)$와 같이 매개변수로 표현되었을 때는 치환적분으로 생각하면

$$L=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\bigg(\frac{dx}{dt}\bigg)^2+\bigg(\frac{dy}{dt}\bigg)^2}dt$$이다.

극형식으로 주어진 직선 $r=f(\theta)\;\;(a<\theta<b)$의 길이도 구해보자.

$$x=r\cos\theta=f(\theta)\cos\theta\quad\;\;\;y=r\sin\theta=f(\theta)\sin\theta$$

$$\frac{dx}{d\theta}=\frac{dr}{d\theta}\cos\theta-r\sin\theta\quad\;\;\frac{dy}{d\theta}=\frac{dr}{d\theta}\sin\theta+r\cos\theta$$

$$\bigg(\frac{dx}{d\theta}\bigg)^2 =\bigg( \frac{dr}{d\theta}\cos\theta-r\sin\theta \bigg)^2=\bigg(\frac{dr}{d\theta}\bigg)^2 \cos^2 \theta -2r\frac{dr}{d\theta}\cos\theta\sin\theta+r^2 \sin^2 \theta$$

$$\bigg(\frac{dy}{d\theta}\bigg)^2 =\bigg( \frac{dr}{d\theta}\sin\theta+r\cos\theta \bigg)^2=\bigg(\frac{dr}{d\theta}\bigg)^2 \sin^2 \theta +2r\frac{dr}{d\theta}\cos\theta\sin\theta+r^2 \cos^2 \theta$$

$$\therefore \bigg(\frac{dx}{d\theta}\bigg)^2+\bigg(\frac{dy}{d\theta}\bigg)^2 =\bigg(\frac{dr}{d\theta}\bigg)^2+r^2$$

매개변수 방정식으로 표현된 곡선의 길이는 $$L=\int_{a}^{b}\sqrt{\bigg(\frac{dx}{d\theta}\bigg)^2+\bigg(\frac{dy}{d\theta}\bigg)^2}d\theta$$이므로

$$L=\int_{a}^{b}\sqrt{r^2+\bigg(\frac{dr}{d\theta}\bigg)^2}d\theta$$이다.

보기 곡선 $r=1+\sin\theta$의 길이를 구하여라.

풀이 \begin{split}L&=\int_{0}^{2\pi}\sqrt{(1+\sin\theta)^2 +\cos^2 \theta}d\theta\\&=\int_{0}^{2\pi}\sqrt{2+2\sin\theta}d\theta\\&=2\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\sqrt{2(1+\sin\theta)}d\theta\\&=2\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\sqrt{2\left(\cos\frac{\theta}{2}+\sin\frac{\theta}{2}\right)^2}d\theta\\&=2\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\sqrt{2}\left|\cos\frac{\theta}{2}+\sin\frac{\theta}{2}\right|d\theta\\&=8\end{split}