새로운 오각형 타일을 찾았다.

며칠 전에 아주 흥미로운 서울신문 기사를 보았다. 다시 찾아보니 아래 블로그 글을 옮겨 놓은 것으로 보인다.

영어로 된 블로그 기사

타일로 만들 수 있는 새로운 오각형을 찾았다는 소식이다. 수학 선생으로 테셀레이션은 알고 있었지만 오각형으로 만드는 테셀레이션 문제가 아직 해결되지 않아서 계속 연구 중이라는 걸 처음 알았다. 역시 수학의 세계는 넓기도 하다. 재밌는 주제라 옮겨 둔다.

평면을 빈틈 없이 채우는 일을 테셀레이션(Tessellation)으로 부른다. 연결된 글에서는 '타일링'으로 부르고 있다. 우리나라 창살 무늬나 이슬람의 아라베스크 무늬가 바로 테셀레이션이다. 욕실에 있는 타일을 생각하면 쉽게 다가온다. 주로 정다각형으로 만들어진 타일이 많지만 독특한 것이 좋은 사람도 많다. 남들과 다르게 살려면 공부 좀 해야 한다. 대표적인 것이 오각형 테셀레이션이다.

이번 발견은 타일 디자이너에게 반가운 소식일 것이 분명하다. 1985년 이후로 새로 발견이 없었다고 하니 참 귀한 오각형이다. 15번째의 오각형을 발견한 수학자는 워싱턴 대학 수학 조교수 케이시 맨(Casey mann)과 그의 부인 제니퍼 맥루드(Jennifer McLoud) 그리고 학부생 연구원인 데이비드 폰 데라우(Von Derau)이다. 귀하다고 생각하며 보니까 뭔가 특별함이 느껴진다. 아쉬운 것은 컴퓨터 프로그램으로 찾았을 뿐이고 수학적 증명은 아직이라는 것이다.

 

한 점에 모인 각의 크기를 더하면 $360^o$라야 한다. 그림을 보니 한 점에 네 각이 모인 경우는 $A+A+D+E=360^o$, 세 각이 모인 경우는 $E+E+A=360^o$, 두 각과 한 변이 모인 경우는 $D+D+180^o=360^o$이다. 여기에 변의 길이까지 맞춰야 하니까 엄청나게 어려운 과정이다.  과정에 비해 변의 길이는 간단하게 표현된 것이 신기하다. 그래도 이런 모양 타일을 만들면 타일공이 무척 고생할 것 같다.

이제까지 발견된 오각형 테셀레이션을 모아 놓은 것이다. 14게보다는 15개라 뭔가 꽉찬 느낌이다. 다른 오각형이 있는지 없는지조차 증명되지 않았다고 한다. 이 문제 해결이 힐베르트가 낸 수학이 해결해야 할 23문제 가운데 18번 문제 해결로 이어질 것으로 생각하고 있다.

힐베르트 문제 18번. 정다면체가 아니면서도 쪽매맞춤(anisohedral tiling)을 할 수 있는 다면체가 있는가? 그렇지 않다면 구체를 가장 조밀하게 쌓는 방법은 무엇인가?

오각형 타일을 찾아온 역사를 간단하게 정리하면 아래와 같다.

1918년 독일 수학자 칼 라인하르트(Karl Reinhardt)가 5가지 오각형을 찾았다. 많은 이들이 1968년 커쉬너(R.B.Kersher)가 3가지를 더 찾기전까지 라인하르트가 모두 찾은 것으로 가정하고 있었다. 1976년  리차드 제임스(Richard James)가 하나를 더 찾아서 9개가 되었고 같은 해 마조리에 라이스(Marjorie Rice)가 4개를 찾았다. 놀라운 사실은 라이스는 평범한 주부인 아마추어 수학자로 제임스의 발견에 대한 기사를 보고 도전하여 독창적인 방법으로 찾았다는 것이다. 14번째는 1985년에 롤프 스타인(Rolf Stein)이 찾았다.

모든 삼각형과 사각형은 평면을 꽉 채울 수 있다. 1963년에는 평면을 채울 수 있는 육각형은 오로지 3개뿐임이 증명되었고 어떤 7각형이나 8각형도 평면을 채울 수 없음을 알고 있다. 하지만 오각형은 여전히 알 수 없는 영역에 놓여있다. 수학에 관심과 재능이 있다면 도전해 보길 바란다. 누가 또 아는가 힐베르트 문제를 해결한 최초의 한국인이 될 수도 있을지!