Limit of x^n /n!

수열 $\{x^n/n!\}$의 극한값은 0임을 쉽게 추즉할 수 있지만 막상 증명을 하려고 하면 쉽지만은 않다.

이 수열에서 $x$가 아무리 큰 수라고 하더라도 고정된 수이고 $n\rightarrow \infty$이므로 항상 더 큰 수를 찾을 수 있다는 것을 생각하자.

$\hat{x}=[x]+1$라고 하고 $n>2\hat{x}$을 가정하자.

$$\frac{x^n}{n!}<\frac{{\hat{x}}^n}{n!}=\bigg(\frac{\hat{x}}{1}\frac{\hat{x}}{2}\cdots\frac{\hat{x}}{2\hat{x}}\bigg)\bigg(\bigg(\frac{\hat{x}}{2\hat{x}+1}\bigg)\bigg(\frac{\hat{x}}{2\hat{x}+2}\bigg)\cdots\bigg(\frac{\hat{x}}{n}\bigg)\bigg)<k\bigg(\frac{1}{2}\bigg)^{n-2\hat{x}}$$

$$k=\bigg(\frac{\hat{x}}{1}\frac{\hat{x}}{2}\cdots\frac{\hat{x}}{2\hat{x}}\bigg)$$

그러므로 

$$\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{x^n}{n!}\leq \lim_{n\rightarrow \infty} k\bigg(\frac{1}{2}\bigg)^{n-2\hat{x}}=0$$