Vector Field

일반적으로 벡터장(Vector Field)은 정의역에 있는 점에 벡터를 이어주는(mapping) 함수다.

$$F(x,y,z)=M(x,y,z)\mathbf{i}+N(x,y,z)\mathbf{j}+P(x,y,z)\mathbf{k}$$와 같이 표현할 수 있는데 $F:R^3\rightarrow R^3$인 사상으로 생각하면 쉽게 이해할 수 있다. 성분함수(component function) $N,N,P$는 $R^3$에서 $R$ 위로의 실가함수인데 이 함수들이 연속함수이면 벡터장이 연속이고 미분가능하면 벡터장도 미분가능하다. 2차원 벡터장은 아래와 같이 쓸 수 있다.

$$F(x,y)=M(x,y)\mathbf{i}+N(x,y)\mathbf{j}$$

3차원 공간에 있는 곡선 $\mathbf{r}(t)=x(t)\mathbf{i}+y(t)\mathbf{j}+z(t)\mathbf{k} $에서 접선벡터 $\mathbf{T}$와 법선벡터 $\mathbf{N}$는 곡선을 따라 벡터장을 이룬다.

$$\mathbf{v}(t)=f(t)\mathbf{i}+g(t)\mathbf{j}+h(t)\mathbf{k} $$와 같이 표현된다.

스칼라 함수 $f(x,y,z)$의 등위 곡면(level surface)의 각 점에 기울기 벡터 $\nabla f$를 대응시키면 곡면에서의 3차원 벡터장을 얻는다.

$$F(x,y,z)=\frac{\partial f}{\partial x} ( x,y,z)\mathbf{i}+\frac{\partial f}{\partial y}(x,y,z)\mathbf{j}+\frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)\mathbf{k}$$

벡터장을 그림으로 나타내기 위해서는 대표적인 점을 찍고 이 점을 시점으로 하는 함숫값인 벡터를 그려준다. 

어떤 실가 함수의 기울기 벡터로 주어지는 벡터장은 기울기 벡터장(gradiant field) 이라고 한다.

예를 들어 3차원 공간에 있는 점에서 온도가 아래와 같이 정해진다고 하면 $$T=100-x^2 -y^2 -z^2$$ 기울기 벡터장(gradiant field)은

$$F=\nabla T=-2x\mathbf{i}-2y\mathbf{j}-2z\mathbf{k}$$이다.

벡터장의 선적분

벡터장 $$F(x,y,z)=M(x,y,z)\mathbf{i}+N(x,y,z)\mathbf{j}+P(x,y,z)\mathbf{k}$$이 연속함수라고 하고 곡선 $C$가 매끄러운 매개변수방정식 $\mathbf{r}(t)=x(t)\mathbf{i}+y(t)\mathbf{j}+z(t)\mathbf{k} \;\;a \leq t \leq b$라고 가정하자. 매개변수 방정식 $\mathbf{r}(t)$는 전진 방향을 결정해 준다. 경로  $C$를 따라 각 점에서 접선벡터 $\displaystyle{T=\frac{d\mathbf{r}}{ds}=\frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|}}$는 경로에 접하는 단위벡터이고 전진 방향을 가리킨다. 직관적으로 벡터장의 선적분은 경로 $C$를 따라 스칼라 함수인 $F$의 접선 성분을 선적분하는 것이다. 이 접선 성분은 다음과 같이 내적에 의해 구할 수 있다.

$$F\cdot T=F\cdot \frac{d\mathbf{r}}{ds}$$

벡터장에 있는 매끄러운 곡선 $C$에서 일(work)을 구해보자.

 

$$W\approx\sum_{k=1}^{n}W_k \approx\sum_{k=1}^{n}F(x_k ,y_k ,z_k )\cdot T(x_k ,y_k ,z_k )\Delta s_k$$

정의 $\mathbf{r}(t),\;\;a\leq t\leq b$로 매개변수화 된 곡선 $C$를 품고 있는 벡터장 $F$이 있다고 하자. 곡선 $C$를 따라서 이동하는 물체가 하는 일은 아래와 같다.

$$W=\int_{C}F\cdot T ds=\int_{a}^{b} F(\mathbf{r}(t))\cdot \frac{d\mathbf{r}}{dt}dt$$

정의 $\mathbf{r}(t),\;\;a\leq t\leq b$로 매개변수화 된 닫힌곡선 $C$를 품고 있는 벡터장 $F$이 있다고 하자. $\mathbf{n}$를 $C$ 위에 있는 외향 단위 법선벡터라고 놓으면 곡선 $C$를 가로 지르는 유출(Flux)은 아래와 같다.

$C$를 가로 지르는 $F$의 유출$=\displaystyle{\int_{C}F\cdot \mathbf{n}ds}$

반시계 방향으로 회전할 때 외향 단위 법선벡터는 아래와 같이 구할 수 있다.

$$\mathbf{n}=T\times \mathbf{k}=\bigg(\frac{dx}{ds}\mathbf{i}+\frac{dy}{ds}\mathbf{j}   \bigg) \times \mathbf{k}=\frac{dy}{ds}\mathbf{i} -\frac{dx}{ds}\mathbf{j}$$

따라서 $$F\cdot \mathbf{n}=M(x,y)\frac{dy}{ds} -N(x,y)\frac{dx}{ds}$$

평면 곡선인 경우 아래와 같이 반시계 방향으로 회전 적분(cyclic integral)으로 계산한다.

$$\int_{C}F\cdot \mathbf{n}ds=\int_C \bigg(M\frac{dy}{dt}-N\frac{dx}{dt}\bigg)dt=\oint_C Mdy-Ndx$$