Line Integral

사상 $f:(x,y)=4-x^2 -y^2$의 그래프는 포물면이다. 이 사상은 $f:R^2\rightarrow R$인 실가함수(real-valued function)로 볼 수 있다. 함수는 매개변수를 써서 표현할 수 있다. 이 함수의 정의역 $R^2$에 있는 곡선을 $\alpha : I\rightarrow R^2$인 함수 $\alpha:t\rightarrow (t,t^2)$을 생각하자. 이 곡선에 대한 함수 $f$의 상(image)은 곡선 $\beta:t\rightarrow (t,t^2,4-t^2-t^4)$이다. 그림으로 나타내면 아래와 같다.

이제 정의역에 있는 곡선을 따라 적분하는 선적분을 정의하자.

먼저 직선 $C:y=\sqrt3 x$을 따라 위의 점 $(0,0)$부터 $(1,\sqrt3)$까지 곡선 호의 길이($L$)를 $n$등분하고 아래 부분합을 구한다고 생각하자.

$$\sum_{k=1}^n f(x_k, y_k) \Delta s_k ,\quad \Delta s_k =\frac{L}{n}$$

이 부분합의 극한값이 있다면 이 값을 선적분으로 정의하자.

$$\int_{C} f(x,y)ds=\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^n f(x_k, y_k) \Delta s_k$$

함수 $f:(x,y)=4-x^2 -y^2$의 정의역에 있는 직선 $C: I\rightarrow R^2, t\rightarrow (t,\sqrt3 t)$을 따라 $0\leq t \leq 1$에서

$$s(t)=\int_{0}^{t} |\mathbf{v}(\tau)|d\tau=\int_{0}^{t} 2d\tau=2t$$이므로 선적분은 아래와 같이 계산하면 된다.

$$\int_{C}f(x,y)ds=\int_{0}^{1}f(t,\sqrt3 t)|v(t)|dt=\int_{0}^{1}(4-4t^2)2dt=\frac{16}{3}$$

아래 그림과 같이 2변수 함수 $z=f(x,y)$의 함숫값이 모두 양수라면 정의역에 있는 곡선에 대한 선적분은 아래와 같이 기둥면의 넓이를 나타낸다.

일반적으로

함수 $f$ 곡선 $\mathbf{r}(t)=g(t)\mathbf{i}+h(t)\mathbf{j}+k(t)\mathbf{k},\;\;a\leq t\leq b$에서 정의되고 아래 극한이 존재한다면 곡선 $C$ 위에서 $f$의 선적분은 아래와 같이 정의한다.

$$\int_{C} f(x,y,z)ds=\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^{n}f(x_k ,y_k,z_k)\Delta s_k$$

곡선의 길이를 변수로 하므로 아래와 같은 정리가 성립한다.

$$s(t)=\int_{a}^{t} |\mathbf{v}(\tau)|d\tau$$

따라서 선적분은 아래와 같이 계산한다.

$$\int_{C} f(x,y,z)ds=\int_{a}^{b}f(g(t),h(t),k(t))|\mathbf{v}(t)|dt$$