Mapping and Function

수학에서 사상(mapping or map)은 함수(function)를 일반화한 것이다. 그러므로 사상은 보통 함수로 이해하면 된다. 수학자 랑(Serge Lang)은 공역이 수집합($\mathbb{R,C}$)의 부분집합인 경우만 함수로 다루기도 한다. 사상은 함수를 포함하고 있는 것으로 보면 된다. 위상(topology)에서는 연속함수로 선형대수(linear algebra)에서는 1차변환(linear transformation)과 같이 분야에 따라 다른 이름으로 불리운다.

이제 $E^n$에서 $E^m$으로의 사상을 생각해 보자. $n=2$이고 $m=1$이라면 2변수 함수로 생각하면 되고 $n=1$이고 $m=3$이라면 벡터 함수(vector valued function or vector function)으로 다루면 될 것이다. 아래와 같이 표현할 수 있다.

$$f: {R^2}\rightarrow R \quad\quad z=f(x,y)$$

$$f: {R}\rightarrow R^3 \quad\quad r(t)=(f(t),g(t),h(t))$$

전자는 실가함수(real valued function)이고 후자는 한 곡선을 나타낸다.

정의(Definition)

1. 함수 $F:E^n \rightarrow E^m$에 대하여 $E^n$의 모든 점 $\mathbf{p}\in E^n$에서

$$F(\mathbf{p})=(f_1 (\mathbf{p}),f_2 (\mathbf{p}),\cdots,f_m(\mathbf{p}))$$를 만족하는 실가함수를 $f_1 ,f_2 ,\cdots,f_m$이라 하자. 이 함수 $f_1 ,f_2 ,\cdots,f_m$를 유클리드 좌표함수(Euclidean coordinate function)라 하고, $$F=(f_1 ,f_2 ,\cdots,f_m)$$으로 적는다.

2. $\alpha: I\rightarrow E^n$에서의 곡선, $F:E^n \rightarrow E^m$을 사상이라 하면 합성함수 $\beta=F(\alpha):I\rightarrow E^m$은 $E^m$에서의 곡선이다. 이 곡선 $\beta=F(\alpha)$를 $F$에 의한 $\alpha$의 상(image of $\alpha$ under $F$)라고 한다.

 

3. 사상 $F:E^n \rightarrow E^m$에 대하여 $\mathbf{p}\in E^n$에서 $E^n$의 접벡터(tangent vector)를 $\mathbf{v}$, $E^m$의 곡선 $t\rightarrow F(\mathbf{p}+t\mathbf{v})$의 초기속도를 $F_*(\mathbf{v})$라 하자. 이때 $E^n$의 접벡터를 $E^m$의 접벡터로 보내는 함수 $F_*$를 $F$의 미분사상(derivative map)이라고 한다.

 

 

에제 사상 $F:R^2 \rightarrow R^2\quad F(x,y)=(x+y,-x+2y)$라고 하자.

$u=x+y, \;\;v=-x+2y$는 좌표함수이다.

이때 $\alpha_1:I\rightarrow R^2\quad \alpha_1(t)=(t,2t)$라고 하면 $F(\alpha_1(t))=(3t,t)$이므로 직선 $y=2x$의 함수 $F$에 의한 상은  직선 $u=3v$이다.

선형대수에서 이 사상은 아래와 같이 행렬로 나타낸다.

$$\pmatrix{u\\v}=\pmatrix{&1\quad &1\\&-1\quad &2}\pmatrix{x\\y}$$

다른 곡선 $\alpha_2:I\rightarrow R^2\quad \alpha_2(t)=(r\cos t,r\sin t)$라고 하면 $F(\alpha_2(t))=(r\cos t +r\sin t,-r\cos t+2r\sin t)$에서 $u=r\cos t +r\sin t,\;\;v=-r\cos t+2r\sin t$이고 이를 정리하면 $5u^2 -2uv+2v^2=9r^2$이다.

그러므로 원 $x^2 +y^2 =r^2$의 함수 $F$에 의한 상은 타원 $5u^2 -2uv+2v^2=9r^2$이다. 같은 평면에 그리면 아래와 같다. 이 둘 사이의 넓이는 어떤 관계가 있을까?

정적분을 간단하게 표현하면 넓이의 변화율을 적분하여 넓이를 얻는 것이다.

$$A=\iint_{\mathbf{R}} dA= \iint_{\mathbf{R}} dx dy$$

$$u=x+y, \;\;v=-x+2y$$에서 변화율 사이의 관계는

$$du=dx+dy\quad dv=-dx+2dy$$이다. 이것을 행렬로 나타내면

$$\pmatrix{du \\ dv}=\pmatrix{&1\quad & 1\\& -1\quad & 2}\pmatrix{dx \\ dy}$$

여기에 등장하는 행렬이 바로 미분사상을 나타낸다. 이 행렬을 자코비 행렬(Jacobian matrix)이라고 하고 행렬식을 간단히 자코비안이라고 한다. 기호로 $J(x,y)$로 적는다. 위의 경우 $\displaystyle{J(x,y)=3}$이다.

$$A=\iint_{\mathbf{G}} dudv =\iint_{\mathbf{R}} 3dxdy $$

사상 $F:E^2 \rightarrow E^2$에서 $u=f_1 (x,y),\;\;v=f_2(x,y)$이라고 하자. $x,y$가 모두 변수 $t$의 함수라고 하면 

$$\frac{du}{dt}=\frac{\partial f_1}{\partial x}\frac{d x}{dt}+\frac{\partial f_1}{\partial y}\frac{dy}{dt}$$

$$\frac{dv}{dt}=\frac{\partial f_2}{\partial x}\frac{d x}{dt}+\frac{\partial f_2}{\partial y}\frac{dy}{dt}$$

이를 행렬로 나타내면

$$\pmatrix{\frac{du}{dt}\\ \frac{dv}{dt} }=\pmatrix{\frac{\partial f_1}{\partial x}\quad \frac{\partial f_1}{\partial y}\\ \frac{\partial f_2}{\partial x}\quad \frac{\partial f_2}{\partial y}} \pmatrix{\frac{dx}{dt} \\ \frac{dy}{dt} }$$

$$J(x,y)=\begin{vmatrix}\frac{\partial f_1}{\partial x}\quad \frac{\partial f_1}{\partial y}\\ \frac{\partial f_2}{\partial x}\quad \frac{\partial f_2}{\partial y} \end{vmatrix}=\frac{\partial f_1}{\partial x}\frac{\partial f_2}{\partial y} -\frac{\partial f_1}{\partial y}\frac{\partial f_2}{\partial x}$$

 

 

좌표 변환 $x=g(u,v),\;\;y=h(u,v)$에서

$$\frac{\partial x}{\partial s}=\frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial s}+\frac{\partial x}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial s}$$

$$\frac{\partial y}{\partial s}=\frac{\partial y}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial s}+\frac{\partial y}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial s}$$

이를 행렬로 나타내면

$$\pmatrix{\frac{\partial x}{\partial s}\\ \frac{\partial y}{\partial s} }=\pmatrix{\frac{\partial x}{\partial u}\quad \frac{\partial x}{\partial v}\\ \frac{\partial y}{\partial u}\quad \frac{\partial y}{\partial v}} \pmatrix{\frac{\partial u}{\partial s} \\ \frac{\partial v}{\partial s} }$$

$$J(u,v)=\begin{vmatrix}\frac{\partial x}{\partial u}\quad \frac{\partial x}{\partial v}\\ \frac{\partial y}{\partial u}\quad \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix}=\frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial v}-\frac{\partial x}{\partial v} \frac{\partial y}{\partial u}$$

이것을 중적분에서의 치환으로 정리해 보자.

$$x=g(u,v),\;\;y=h(u,v)$$

$$A=\iint_{\mathbf{R}} dA= \iint_{\mathbf{R}} f(x,y) dx dy=\iint_{\mathbf{G}} f(g(u,v),h(u,v))|J(u,v)|dudv$$

예시 2차원 평면에서 데카르트 좌표계를 극좌표로 변환하는 경우를 생각해 보자.

$$x=r\cos \theta,\;\;y=r\sin \theta$$이므로

$$J(r,\theta)=\begin{vmatrix}\frac{\partial x}{\partial r}\quad \frac{\partial x}{\partial \theta}\\ \frac{\partial y}{\partial r}\quad \frac{\partial y}{\partial \theta} \end{vmatrix}= \begin{vmatrix}&\cos\theta\quad &-r\sin\theta\\ &\sin\theta \quad &r\cos\theta \end{vmatrix}= r\cos^2 \theta+r\sin^2 \theta=r$$

따라서

$$\iint_{\mathbf{R}} f(x,y)dxdy =\iint_{\mathbf{G}} f(r\cos\theta,r\sin\theta)|r| dr d\theta $$

마찬가지로 3차원 공간에서 데카르트 좌표계를 구면좌표계(spherical coordinates)로 변환하는 경우도 생각할 수 있다.

 

$$x=\rho \sin\phi \cos\theta,\;\;y=\rho\sin\phi \sin\theta,\;\;z=\rho\cos\phi$$

$$J(\rho,\phi,\theta)=\begin{vmatrix}&\sin\phi \cos\theta\quad &\rho\cos\phi \cos\theta\quad &-\rho\sin\phi\sin\theta\\ &\sin\phi \sin\theta\quad &\rho\cos\phi \sin\theta\quad &\rho\sin\phi\cos\theta\\  &\cos\phi\quad &-\rho\sin\phi\quad &0\end{vmatrix}=\rho^2 \sin\phi$$

따라서

$$\iiint_{\mathbf{R}} f(x,y,z)dzdydx =\iiint_{\mathbf{G}} f(\rho \sin\phi \cos\theta,\;\;\rho\sin\phi \sin\theta,\;\;\rho\cos\phi)|\rho^2 \sin\phi |d\rho \;d\phi \;d\theta $$