평면벡터의 내적

영벡터가 아닌 두 벡터 $\vec{a}=\vec{OA},\vec{b}=\vec{OB}$라고 할 때, $\theta=\angle AOB(0\leq\theta\leq\pi)$를 벡터가 이루는 각의 크기로 한다. 이때 스칼라 $|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$를 $\vec{a}$와 $\vec{b}$의 내적(inner product)이라 하고 기호로 아래와 같이 적는다.

$$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$$

두 벡터의 크기와 두 벡터가 이루는 각의 크기를 알면 당연히 내적을 구할 수 있지만 벡터의 성분을 이용하여 내적을 구할 수 있다. 그림에서와 같이 $\vec{a}$가 $x$축과 이루는 각의 크기를 $\beta$, $\vec{b}$가 이루는 각의 크기를 $\alpha$라고 하자. 삼각함수의 덧셈정리에 의하여

$$\cos\theta=\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$$

$$=\frac{b_1}{|\vec{b}|} \frac{a_1}{|\vec{a}|} +\frac{b_2}{|\vec{b}|} \frac{a_2}{|\vec{a}|}=\frac{a_1b_1+a_2b_2}{|\vec {a}||\vec{b}|}$$

이다. 그러므로 내적을 성분으로 계산하면 아래와 같다. 이식은 영벡터일 때도 성립한다.

$$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta=a_1b_1+a_2b_2$$

내적을 도입할 때 아래와 같은 제2코사인 법칙을 쓰면 좋은데 교육과정에서 왜 뺐는지 궁금하다. 교재를 찾아보니 제2코사인 법칙이 없으니 공간벡터의 내적은 그냥 외우게 되어 있다. 그리 어렵지 않으니 제2코사인 법칙을 기억해 두자. 증명은 이 블로그 다른 글에 있으니 찾아보라.$$\overline{AB}^2 =\overline{OA}^2 +\overline{OB}^2 -2\overline{OA}\cdot\overline{OB}\cos\theta$$

사실 내적은 성분으로 아주 쉽게 계산할 수 있으므로 내적을 써서 두 벡터가 이루는 각을 구하는 문제가 훨씬 많다. 따라서 아래와 같은 식을 기억해 두자.

$$\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec {a}||\vec{b}|}$$

위에 있는 내적은 inner product인데 다른 이름으로 scalar product 또는 dot product로 부른다. 사실 수학에서 내적은 벡터공간에 따라 여러 가지 모습으로 나타난다. 위키피디아 에서 내적공간에 대하여 좀 더 자세하게 살펴볼 수 있다.