질량 중심(center of mass)

물체는 마치 질량이 한 점에 모여 있는 것처럼 운동한다. 이 점이 질량중심(center of mass)이다. 

직선에 놓인 질량중심

아래와 같이 지렛대가 놓인 받침점을 원점으로 하여 좌표 $x_k$인 점에 질량 $m_k$이 놓여 있다고 가정하자.($k=1,2,3$) 각 질량 $m_k$에 아래쪽으로 중력이 작용한다. 중력가속도 $g$가 작용하여 원점을 중심으로 회전하려는 힘이 생긴다. 이 힘을 토크(torque)로 부르는데 크기는 $m_k g$이고 부호는 위치 $x_k$에 따라 결정된다. 양이면 시계방향으로 음이면 반시계방향으로 회전한다. 토크를 모두 더한 값이 시스템 토크다.  (참고 토크 $\tau$는 변위 벡터 $r$과 힘 $F$의 외적이다. $\tau=r\times F$ 따라서 토크는 벡터다. 편하게 다루기 위해 '$+$'는 반시계 방향 '$-$'는 시계 방향인 오른손 법칙을 따라 방향을 정한다.)

시스템 토크(system torque)$=m_1 g x_1  +m_2 g x_2  +m_2 g x_2  $

시스템 토크가 0이면 어느 쪽으로도 기울지 않는다. 다시 말하면 시스템은 균형을 이룬다. 시스템 토크를 다시 정리하면 아래와 같다.

$$g(m_1  x_1  +m_2  x_2  +m_2  x_2)$$

여기서 $g$는 시스템이 있는 환경에 따라 결정된다. 지구라면 중력가속도 $9.8m/sec^2$이지만 다른 천체라면 달라질 것이다. 하지만 $m_1 x_1+m_2 x_2+m_3 x_3$은 환경에 상관 없다. 이 값이 원점에 대한 모멘트(moment of the system about the origin)이다.

$$M_0 =\sum m_k x_k$$

시스템이 균형을 이루는 점을 찾아보자. 균형점 $\overline{x}$에 대한 토크는 질량 $m_k$가 있는 위치($x_k-\overline{x}$)와 중력가속도의 곱이다. 모든 토크의 합이 $0$이 되어야  균형점이다.

$$\sum(x_k-\overline{x})m_k g =0$$

이 식을 $\overline{x}$에 대하여 정리하면 아래와 같다.

$$\overline{x}=\frac{\sum m_k x_k}{\sum m_k}$$

균형점의 좌표는 원점에 대한 시스템 모멘트를 질량의 합으로 나누어 구할 수 있다. 이 균형점이 바로 질량중심이다.

평면에 놓인 질량중심

평면 위에 좌표가 $(x_k,y_k)$인 점에 질량 $m_k$가 놓여있다고 가정하자. 이때 질량은 $M=\sum m_k$이고 $x$축과 $y$축에 대한 모멘트는 아래와 같다.

$x$축에 대한 모멘트$=M_x =\sum m_k y_k$

$y$축에 대한 모멘트$=M_y =\sum m_k x_k$

질량중심의 좌표를 $(\overline{x},\overline{y})$라고 하면 아래와 같이 구한다.

$$\overline{x}=\frac{M_y}{M}=\frac{\sum m_k x_k}{\sum m_k}$$

$$\overline{y}=\frac{M_x}{M}=\frac{\sum m_k y_k}{\sum m_k}$$

질량이 두께가 아주 얇고 평평한 판에 고르게 퍼져 있다고 가정하면 위에서 정리한 내용을 폭이 0에 아주 가까운 매우 가는 띠로 나누어 구하는 것으로 생각할 수 있다. 좌표축에 평행한 직선으로 $n$등분하고 부분합을 구하고 이 부분합의 극한값을 구한다고 생각하면 정적분으로 질량중심을 구한다.

띠의 질량은 $\Delta m$이고 질량중심은 $(\widetilde{\;x\;},\widetilde{\;y\;})$로 놓자. 판의 질량중심 $(\overline{x},\overline{y})$은 아래와 같이 구할 수 있다. 

$$\overline{x}=\frac{M_y}{M}=\frac{\sum\widetilde{\;x\;}\Delta m}{\sum\Delta m},\;\;\overline{y}=\frac{M_x}{M}=\frac{\sum\widetilde{\;y\;}\Delta m}{\sum\Delta m}$$

$$\overline{x}=\frac{\int\widetilde{\;x\;}d m}{\int dm},\;\;\overline{y}=\frac{\int\widetilde{\;y\;}d m}{\int d m}$$

여기서 띠의 넓이를 $A$라고 하면 미분 $dm$은 판의 밀도가 연속함수 $\delta$로 주어진다면 $\delta d A$와 같다.

예제) 세 직선 $y=2x,\;y=0,\;x=1$로 둘러싸인 삼각형에 밀도 $\delta=3g/cm^2$로 고르게 질량이 분포되어 있다고 할 때 질량중심을 구하여라.

위 그림과 같이 먼저 $y$축과 평행이고 폭이 $dx$인 띠를 생각하자. 이 띠의 질량중심은 $(x,x)$이다. 띠의 넓이 $A$의 미분 $dA$는 $2xdx$이고 미분 $dm$은 밀도와 넓이의 미분의 곱이다. 

$$dm=\delta dA=\delta 2xdx$$

이 점의 $y$에 대한 모멘트는

$$M_y=\int \widetilde{\;x\;}dm=\int_{0}^{1}6x^2 dx=2g\cdot cm$$

이다. 판의 질량은 

$$M=\int dm=\int_{0}^{1}6x dx=3g$$

따라서 질량중심의 $x$좌표 $\overline{x}$는

$$\overline{x}=\frac{M_y}{M}= \frac{2}{3}cm$$

$$\therefore \;\;(\overline{x},\overline{y})=\bigg( \frac{2}{3}, \frac{2}{3}\bigg)$$

아래와 같이 $x$축에 평행한 띠를 생각하여 구할 수도 있다.

$$M_y=\int\widetilde{\;x\;}dm=\int_{0}^{2}\frac{y+2}{4}\cdot 3\cdot\frac{2-y}{2}dy=\int_{0}^{2}\frac{3}{8}(4-y^2)dy=2g\cdot cm$$

$$\overline{x}=\frac{M_y}{M}= \frac{2}{3}cm$$

밀도 함수 $\delta$가 상수함수일 때는 굳이 밀도를 고려하지 않아도 된다. 이때 질량중심을 도형의 기하적 중심(centroid)으로 부르기도 한다.