Line Integrals in Conservative Fields

정의 공간에 있는 열린 영역 $D$에서 정의된 벡터장 $F$와 $D$에 있는 임의의 두 점 $A,B$이 있을 때, 점 $A$에서 시작하여 $B$에서 끝나는 모든 곡선 $C$를 따라 적분하는 선적분 $\int_{C}F\cdot dr$의 값이 모두 같다면 $\int_{C}F\cdot dr$는 $D$에서 경로 독립(path independent)이고 벡터장 $F$는 보존(conservative)장이라고 한다.

정의 벡터장 $F$가 영역 $D$에서 정의되고, 영역 $D$에서 정의된 어떤 스칼라 함수 $f$에 대하여 $F=\nabla f$를 만족한다면 $f$를 $F$를 위한 포텐셜(potential) 함수라고 부른다.

선적분의 기본 정리

영역 $D$에서 정의된 점 $A$에서 시작하여 $B$에서 끝나는 매끄러운 곡선 $C$가 $\mathbf{r}(t)$로 매개화된다고 하자. 영역 $D$에서 정의된 함수 $f$가 미분가능하고 $F=\nabla f$라고 한다면 

$$\int_{C} F\cdot d\mathbf{r}=f(B)-f(A)$$

증명 $A,B\in D$이고 $C:\mathbf{r}(t)=<x(t),y(t),z(t)>\;\;a\leq t\leq b$라고 하면 함수 $f$도 $t$의 함수로 매개화할 수 있다.

$$\frac{d f}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}+\frac{\partial f}{\partial z}\frac{dz}{dt}  =\nabla f \cdot <\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt},\frac{dz}{dt}>=\nabla f \cdot \frac{d\mathbf{r}}{dt}=F \cdot \frac{d\mathbf{r}}{dt}$$

$$\therefore \;\;\int_{C}F\cdot dr=\int_{t=a}^{t=b}F\cdot \frac{d\mathbf{r}}{dt}=\int_{a}^{b}\frac{d f}{dt}dt=f(\mathbf{r}(t))\bigg]_{a}^{b}=f(A)-f(B)$$

영역 $D$에서 정의된 벡터장 $F$가 보존장일 필요충분 조건은 미분가능한 함수  $f$에 대하여 $F=\nabla f$, 다시 말하면 기울기 벡터장(gradient field)이다.

증명 $\Leftarrow:$ 위에 있는 정리에 따라 기울기 벡터장은 경로 독립이므로 보존장이다.

$:\Rightarrow$ $F=<M,N,P>$가 보존장이라고 하자. 먼저 점 $A$는 $f(A)=0$인 점으로 고정하고 어떤 점 $B$에 대하여 $f(B)=\int_{C}F\cdot d\mathbf{r}$라고 정의하자. 점 $B(x,y,z)$에 아주 가까운 점 $B_0(x_0,y,z)$를 잡고 $A$에서 $B_0$까지 경로를 $C_0$, $B_0$에서 $B$까지 직선을 $L$이라고 하자. $C=C_0 \cup L$이므로

$$f(x,y,z)=\int_{C_0}F\cdot d\mathbf{r}+\int_{L}F\cdot d\mathbf{r}$$ 에서 양변을 미분하면

$$\frac{\partial}{\partial x}f(x,y,z)=\frac{\partial}{\partial x}\bigg(\int_{C_0}F\cdot d\mathbf{r}+\int_{L}F\cdot d\mathbf{r}\bigg)$$

에서 $\int_{C_0}F\cdot d\mathbf{r}=f(B_0)$이므로 우변 두 번째 항만 $x$에 의존되어 있다.

$$ 

$$\frac{\partial}{\partial x}f(x,y,z)=\frac{\partial}{\partial x}\int_{L}F\cdot d\mathbf{r}$$

이제 $L:\mathbf{r}(t)=<t,y,z>\;\;x_0 \leq t \leq x$로 놓으면 $d\mathbf{r}/dt=<1,0,0>$이므로 $\displaystyle{\int_{L}F\cdot d\mathbf{r}=\int_{x_0}^{x}M(t,y,z)dt}$이다.

$$\frac{\partial}{\partial x}f(x,y,z)=\frac{\partial}{\partial x}\int_{x_0}^{x}M(t,y,z)dt$$

$$\therefore\;\;\frac{\partial f}{\partial x}=M$$ 마찬가지로 $$\frac{\partial f}{\partial y}=N,\;\;\frac{\partial f}{\partial z}=P$$ 를 얻을 수 있다.

그러므로 보존장이면 $F=\nabla f$인 기울기 벡터장이다.

보존장을 위한 성분함수 검사

단순연결 영역에서 정의된 벡터장 $F=M(x,y,z)\mathbf{i}+N(x,y,z)\mathbf{j}+P(x,y,z)\mathbf{k}$의 성분함수가 연속인 1계 편도함수를 가진다고 하자. $F$가 보존장일 필요충분조건은

$$\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial N}{\partial z},\;\; \frac{\partial M}{\partial z}=\frac{\partial P}{\partial x},\;\; \frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial M}{\partial y}$$

 

예제. $F=(e^x \cos y+yz)\mathbf{i}+(xz-e^x\sin y)\mathbf{j}+(xy+z)\mathbf{k}$이 보존장임을 밝히고 포텐셜 함수를 구하여라.

풀이 정의역은 $R^3$에 있는 모든 점이므로 단순연결영역이다.

$$\frac{\partial P}{\partial y} =x=\frac{\partial N}{\partial z},\;\; \frac{\partial M}{\partial z}=y=\frac{\partial P}{\partial x},\;\; \frac{\partial N}{\partial x}=-e^x \sin y+z=\frac{\partial M}{\partial y}$$

1계 편도함수가 모두 연속이므로 $F$는 보존장이다. 이제 $F=\nabla f$인 스칼라 함수 $f$를 찾으면 바로 그 함수가 포텐셜 함수다.

먼저

$$\frac{\partial f}{\partial x}=e^x \cos y+yz ,\;\;\frac{\partial f}{\partial y}=xz-e^x\sin y,\;\;\frac{\partial f}{\partial z}=xy+z$$

첫 번째를 $x$에 대하여 적분하면 적분상수는 $y,z$의 함수이므로

$$f(x,y,z)=e^x \cos y +xyz+g(y,z)$$

이다. 이 식을 두 번째 식에 대입하면

$$-e^x\sin y+xz+\frac{\partial g}{\partial y}=xz-e^x\sin y$$

이다. $\displaystyle{\frac{\partial g}{\partial y}=0}$이므로 $g$는 $z$의 함수다. 따라서

$$f(x,y,z)=e^x \cos y +xyz+h(z)$$

이 식을 다시 세 번째 식에 대입하면

$$xy+\frac{dh}{dz}=xy+z$$ 이다. 따라서 $F=\nabla f$인 포텐셜 함수는 아래와 같다.

$$f(x,y,z)=e^x \cos y +xyz+\frac{1}{2}z^2 +C$$

예제 벡터장

$$F=\frac{-y}{x^2 +y^2}\mathbf{i}+\frac{y}{x^2 +y^2}\mathbf{j}+0\mathbf{k}$$

은 $$\frac{\partial P}{\partial y} =0=\frac{\partial N}{\partial z},\;\; \frac{\partial M}{\partial z}=0=\frac{\partial P}{\partial x},\;\; \frac{\partial N}{\partial x}= \frac{y^2 -x^2}{(x^2 +y^2 )^2}=\frac{\partial M}{\partial y}$$ 이지만 $(0,0,0)$에서 정의되지 않으므로 정의역이 단순연결 영역이 아니다. 실제로 단위원 $x^2 +y^2 =1$을 따라 적분해 보자.

먼저 원을 $\mathbf{r}(t)=(\cos t) \mathbf{i}+(\sin t) \mathbf{j}$로 매개화하자.

$F= (-\sin t) \mathbf{i}+(\cos t) \mathbf{j}$이고 $d\mathbf{r}/dt=(-\sin t) \mathbf{i}+(\cos t) \mathbf{j}$이므로

$$\oint_C F\cdot d\mathbf{r}=\oint_C F\cdot \frac{d\mathbf{r}}{dt} dt=\int_0^{2\pi}(\sin^2 t +\cos^2 t)dt=2\pi$$

로 $0$이 되지 않는다. 그러므로 보존장이 아님을 알 수 있다.