미분으로 할 수 있는 일 2

함수 그래프의 오목과 볼록

그림과 같이 함수 $\displaystyle{y=\frac{1}{10}x^3}$의 그래프는 $(-\infty,0)$에서는 위로 볼록(아래로 오목)하고 $(0,\infty)$에서는 아래로 볼록(위로 오목)하다. 참고 볼록함수와 젠센 부등식

보통 함수의 그래프 위에 있는 임의의 두 점을 잇는 직선보다 곡선이 아래 쪽으로 내려와 있으면 아래로 볼록 또는 위로 오목하다고 한다. 마찬가지로 곡선이 직선보다 위 쪽에 있다면 위로 볼록 또는 아래로 오목이라고 한다. 그림에 표현했듯이 미분가능한 함수 $f$의 그래프가 아래로 볼록하면 도함수 $f^{\prime}$는 증가함수이고 위로 볼록하면 감소함수이다. 따라서 함수 그래프의 요철은 이계도함수를 보고 알 수 있다.

함수 $y=f(x)$가 구간 $I$에서 두 번 미분가능하다고 할 때

1. $f^{\prime\prime}>0$이면 $f$는 구간 $I$에서 아래로 볼록이다. 

2. $f^{\prime\prime}<0$이면 $f$는 구간 $I$에서 위로 볼록이다. 

정의 곡선의 요철이 바뀌는 점을 변곡점(point of inflection)이라고 한다. 

$x=c$일 때 변곡점이 될 필요조건은 $f^{\prime\prime}(c)=0$이다.

 

이계도함수를 활용하면 극댓값과 극솟값을 쉽게 판별할 수 있다.

$f^{\prime\prime}$이 $x=c$를 포함하는 어떤 열린구간에서 연속이라고 하자.

1. $f^{\prime}=0$이고 $f^{\prime\prime}<0$이면 $f$는 $x=c$일 때 극댓값이다.

2. $f^{\prime}=0$이고 $f^{\prime\prime}>0$이면 $f$는 $x=c$일 때 극솟값이다.

3. $f^{\prime}=0$이고 $f^{\prime\prime}=0$이면 판별할 수 없다. 극댓값이나 극솟값일 수도 있고 둘 다 아닐 수도 있다. 

곡선의 개형을 그릴 때 고려할 점

1. 곡선이 존재하는 범위(정의역, 치역)

2. 곡선의 대칭성($x$축, $y$축, 원점 대칭)과 주기

3. 좌표축과 만나는 점(절편)

4. 함수의 증가와 감소 그리고 극값(극댓값, 극솟값)

5. 곡선의 볼록과 오목 그리고 변곡점

6. 극한값 $\lim_{x\rightarrow\infty}f(x),\;\;\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)$ 그리고 점근선

예제 함수 $\displaystyle{f(x)=\frac{2x}{x^2+1}}$의 그래프를 그려라.

1. 이 함수의 정의역은 실수 전체의 집합이다.

2. $f(x)=-f(-x)$이므로 원점에 대칭이다.

3. $f(0)=0$이므로 원점을 지난다.(절편)

4. 함수의 증감을 조사하기 위해 도함수를 구한다.

$$f^{\prime}(x)=\frac{-2(x+1)(x-1)}{(x^2+1)^2}=0$$

5. 이계도함수도 구한다.

$$f^{\prime\prime}(x)=\frac{4x(x-\sqrt {3})(x+\sqrt {3})}{(x^2+1)^3}=0$$

원점에 대칭이므로 $x\geq 0$일 때만 생각해도 된다.

$x$	0	$\cdots$	1	$\cdots$	$\sqrt{3}$	$\cdots$
$f^{\prime}(x)$	$+$	$+$	0	$-$	$-$	$-$
$f^{\prime\prime}(x)$	0	$-$	$-$	$-$	0	$+$
$f(x)$	0	$\nearrow$	1	$\searrow$	$\displaystyle{\frac{\sqrt{3}}{2}}$	$\searrow$

$f^{\prime}(1)=0$이고 $f^{\prime\prime}(1)<0$이므로 $x=1$일 때 극댓값 $1$이다. 원점 대칭이므로 $x=-1$일 때 극솟값 $-1$이다.

$f^{\prime\prime}(\sqrt{3})=0$이고 좌우에서 요철이 바뀌므로 변곡점은 $\displaystyle{\bigg(\sqrt{3},\frac{\sqrt{3}}{2}\bigg)}$와 $\displaystyle{\bigg(-\sqrt{3},-\frac{\sqrt{3}}{2}\bigg)}$

6. $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=0}$이므로 $x$축이 점근선이다.

따라서 그래프는 아래와 같다.

방정식과 부등식에 활용

미분을 활용하여 함수 그래프를 그릴 수 있으므로 미분으로 방정식과 부등식의 해를 찾을 수 있다.

방정식 $f(x)=0$의 실근은 함수 $y=f(x)$그래프와 직선 $y=0$의 교점이기 때문이다. 부등식도 마찬가지다.

예제 $k$가 상수일 때, 방정식 $e^x=kx$의 서로 다른 실근의 개수를 조사하여라.

$x=0$은 방정식을 만족하지 않으므로 주어진 방정식은 아래 두 함수 그래프가 만나는 점의 $x$좌표다.

$$y=\frac{e^x}{x},\;\;y=k$$

$$f^{\prime}(x)=\frac{e^x(x-1)}{x^2}$$

$x=1$일 때 극솟값 $e$이다. 

정의역은 $x\not= 0$인 실수 전체집합이다. 

$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0+}f(x)=\infty\;\;\lim_{x\rightarrow 0-}f(x)=-\infty}$이므로 $y$축이 점근선이다. 

또한 $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=\infty\;\;\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=0}$이므로 $x$축도 점근선이다.

$k>e$일 때 2개

$k=e$일 때 1개

$ 0\leq k<e$일 때 0개

$k<0$일 때 1개