역함수의 부정적분
수학이야기/미적분 2017. 11. 15. 15:00역함수의 성질을 활용하여 부정적분을 해보자.
지수함수 f(x)=ex의 역함수는 f−1(x)=lnx이다.
∫f−1(x)dx=∫lnxdx에서 x=et으로 치환하면
dxdy=ey이므로 주어진 부정적분은
=∫yeydy=yey−∫eydy=yey−ey+C=xlnx−x+C이다.
정리하자면 아래와 같이 역함수로 치환하고 부분적분을 써서 부정적분을 구한다.
∫f−1(x)dx=∫f−1(f(y))f′(y)dy=∫xf′(y)dy=yf(y)−∫f(y)dy
함수 y=tan−1x의 부정적분을 구할 때 x=tany로 치환하자.
∫tan−1dx=∫ysec2ydy=ytany−∫tanydy=ytany+ln|cosy|+C
그러므로
∫tan−1dx=xtan−1x−12ln|1+x2|+C
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