역함수의 부정적분

역함수의 성질을 활용하여 부정적분을 해보자.

지수함수 $f(x)=e^x$의 역함수는 $f^{-1}(x)=\ln x$이다.

$$\int f^{-1}(x) dx=\int \ln x dx$$에서 $x=e^t$으로 치환하면

$\displaystyle{\frac{dx}{dy}=e^y}$이므로 주어진 부정적분은

$$=\int y e^y dy=y e^y -\int e^y dy=y e^y -e^y +C=x\ln x-x+C$$이다.

정리하자면 아래와 같이 역함수로 치환하고 부분적분을 써서 부정적분을 구한다.

$$\int f^{-1}(x) dx=\int f^{-1}(f(y))f^{\prime}(y)dy=\int x f^{\prime}(y)dy=yf(y)-\int f(y)dy$$

함수 $y=\tan^{-1} x$의 부정적분을 구할 때 $x=\tan y$로 치환하자.

$$\int \tan^{-1} dx =\int y \sec^2 y dy=y \tan y -\int \tan y dy=y \tan y +\ln |\cos y|+C$$

그러므로

$$\int \tan^{-1} dx = x\tan^{-1} x-\frac{1}{2}\ln |1+x^2|+C$$