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역함수의 부정적분::::수학과 사는 이야기

역함수의 부정적분

수학이야기/미적분 2017. 11. 15. 15:00
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역함수의 성질을 활용하여 부정적분을 해보자.

지수함수 f(x)=ex의 역함수는 f1(x)=lnx이다.

f1(x)dx=lnxdx에서 x=et으로 치환하면

dxdy=ey이므로 주어진 부정적분은

=yeydy=yeyeydy=yeyey+C=xlnxx+C이다.

정리하자면 아래와 같이 역함수로 치환하고 부분적분을 써서 부정적분을 구한다.

f1(x)dx=f1(f(y))f(y)dy=xf(y)dy=yf(y)f(y)dy


함수 y=tan1x의 부정적분을 구할 때 x=tany로 치환하자.

tan1dx=ysec2ydy=ytanytanydy=ytany+ln|cosy|+C

그러므로

tan1dx=xtan1x12ln|1+x2|+C

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