Differentials(미분변수)

$y$를 $x$에 대하여 미분한 도함수를 라이프니츠 식으로 $dy/dx$로 쓴다. 이 때 dy dx로 읽는 까닭은 쓰여진 것과 달리 단순한 비(ratio)가 아니라 $y$를 $x$에 대하여 미분했음을 뜻하기 때문이다. 비가 도함수와 같아지게 새로운 변수 $dx$와 $dy$를 정의하자.

Definition Let $y=f(x)$ be a differentiable function. The differential dx is an independent variable. The differential dy is

$$dy=f^{\prime}(x)dx$$

미분 가능한 함수 $y=f(x)$에서 독립변수 $dx$를 정하면 종속변수 $dy$는 $dy=f^{\prime}(x)dx$로 정하는 것이다. 기하적 의미를 알아보자.

먼저 선형화의 정의를 보자.

정의 $f$가 $x=a$에서 미분가능하다면 곡선 $y=f(x)$ 위에 있는 점 $(a,f(a))$에서 접선인

$$L(x)=f(a)+f^{\prime}(a)(x-a)$$

은 $x=a$에서 근사 함수다. $L$을 

$$f(x)\approx L(x)$$  $x=a$에서 표준 선형 근사(standard linear approximation)라고 한다. 점 $x=a$는 근사의 중심이다.

곡선 $y=f(x)$에서 $\Delta x=dx$라고 하면 $y$의 변화량은

$$\Delta y=f(a+dx)-f(a)$$

직선 $L$의 변화량은

$$\Delta L=L(a+dx)-L(x)=f(a)++f^{\prime}(a)dx-f(a)=f^{\prime}(a)dx=dy$$

differential $dx$는 접선의  변화량$\Delta L$과 같다. $dx$는 독립변수이므로 $dx=\Delta x$로 잡을 수 있다. 이 때, $\Delta x$가 충분히 작다면 $dx$로 실제 변화량 $\Delta y$를 추정할 수 있다.

$$\Delta y=f(a+d x)-f(a)\approx dy$$

$$f(a+d x)\approx f(a)+dy$$

오차 $\epsilon$를 계산해 보자.

$$\begin{split}\epsilon&=\Delta f -\Delta L\\ &=f(a+dx)-f(a)-f^{\prime}(a)dx\;\;\;(if \Delta x= dx)\\&=\bigg(\frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}-f^{\prime}(a)\bigg)\Delta x\end{split}$$

$\displaystyle{\lim_{\Delta\rightarrow 0}\epsilon=0}$이므로 아래와 같이 생각할 수 있다.

$$f(x)=f^{\prime}(x)+\epsilon$$

EXAMPLE Use differentials to estimate $7.97^{1/3}$

풀이 ) 먼저 $y=x^{1/3}$이라고 하자.

$$dy= \frac{1}{3x^{2/3}}dx$$

$a=8$, $dx=-0.03$으로 놓으면

$$f(7.97)=f(8-0.03)\approx f(8)+dy=8^{1/3}+\frac{1}{3\cdot 8^{2/3}}(-0.03)=1.9975$$