Differentials(미분변수)
수학이야기/미적분 2018. 3. 23. 14:02y를 x에 대하여 미분한 도함수를 라이프니츠 식으로 dy/dx로 쓴다. 이 때 dy dx로 읽는 까닭은 쓰여진 것과 달리 단순한 비(ratio)가 아니라 y를 x에 대하여 미분했음을 뜻하기 때문이다. 비가 도함수와 같아지게 새로운 변수 dx와 dy를 정의하자.
Definition Let y=f(x) be a differentiable function. The differential dx is an independent variable. The differential dy is
dy=f′(x)dx
미분 가능한 함수 y=f(x)에서 독립변수 dx를 정하면 종속변수 dy는 dy=f′(x)dx로 정하는 것이다. 기하적 의미를 알아보자.
먼저 선형화의 정의를 보자.
정의 f가 x=a에서 미분가능하다면 곡선 y=f(x) 위에 있는 점 (a,f(a))에서 접선인
L(x)=f(a)+f′(a)(x−a)
은 x=a에서 근사 함수다. L을
f(x)≈L(x) x=a에서 표준 선형 근사(standard linear approximation)라고 한다. 점 x=a는 근사의 중심이다.
곡선 y=f(x)에서 Δx=dx라고 하면 y의 변화량은
Δy=f(a+dx)−f(a)
직선 L의 변화량은
ΔL=L(a+dx)−L(x)=f(a)++f′(a)dx−f(a)=f′(a)dx=dy
differential dx는 접선의 변화량ΔL과 같다. dx는 독립변수이므로 dx=Δx로 잡을 수 있다. 이 때, Δx가 충분히 작다면 dx로 실제 변화량 Δy를 추정할 수 있다.
Δy=f(a+dx)−f(a)≈dy
f(a+dx)≈f(a)+dy
오차 ϵ를 계산해 보자.
ϵ=Δf−ΔL=f(a+dx)−f(a)−f′(a)dx(ifΔx=dx)=(f(a+Δx)−f(a)Δx−f′(a))Δx
limΔ→0ϵ=0이므로 아래와 같이 생각할 수 있다.
f(x)=f′(x)+ϵ
EXAMPLE Use differentials to estimate 7.971/3
풀이 ) 먼저 y=x1/3이라고 하자.
dy=13x2/3dx
a=8, dx=−0.03으로 놓으면
f(7.97)=f(8−0.03)≈f(8)+dy=81/3+13⋅82/3(−0.03)=1.9975
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