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Differentials(미분변수)::::수학과 사는 이야기

Differentials(미분변수)

수학이야기/미적분 2018. 3. 23. 14:02
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yx에 대하여 미분한 도함수를 라이프니츠 식으로 dy/dx로 쓴다. 이 때 dy dx로 읽는 까닭은 쓰여진 것과 달리 단순한 비(ratio)가 아니라 yx에 대하여 미분했음을 뜻하기 때문이다. 비가 도함수와 같아지게 새로운 변수 dxdy를 정의하자.

Definition Let y=f(x) be a differentiable function. The differential dx is an independent variable. The differential dy is

dy=f(x)dx

미분 가능한 함수 y=f(x)에서 독립변수 dx를 정하면 종속변수 dydy=f(x)dx로 정하는 것이다. 기하적 의미를 알아보자.

먼저 선형화의 정의를 보자.

정의 fx=a에서 미분가능하다면 곡선 y=f(x) 위에 있는 점 (a,f(a))에서 접선인

L(x)=f(a)+f(a)(xa)

x=a에서 근사 함수다. L을 

f(x)L(x)  x=a에서 표준 선형 근사(standard linear approximation)라고 한다. 점 x=a는 근사의 중심이다.

곡선 y=f(x)에서 Δx=dx라고 하면 y의 변화량은

Δy=f(a+dx)f(a)

직선 L의 변화량은

ΔL=L(a+dx)L(x)=f(a)++f(a)dxf(a)=f(a)dx=dy

differential dx는 접선의  변화량ΔL과 같다. dx는 독립변수이므로 dx=Δx로 잡을 수 있다. 이 때, Δx가 충분히 작다면 dx로 실제 변화량 Δy를 추정할 수 있다.

Δy=f(a+dx)f(a)dy

f(a+dx)f(a)+dy

오차 ϵ를 계산해 보자.

ϵ=ΔfΔL=f(a+dx)f(a)f(a)dx(ifΔx=dx)=(f(a+Δx)f(a)Δxf(a))Δx

limΔ0ϵ=0이므로 아래와 같이 생각할 수 있다.

f(x)=f(x)+ϵ

EXAMPLE Use differentials to estimate 7.971/3

풀이 ) 먼저 y=x1/3이라고 하자.

dy=13x2/3dx

a=8, dx=0.03으로 놓으면

f(7.97)=f(80.03)f(8)+dy=81/3+1382/3(0.03)=1.9975


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