쌍곡함수에서 알아두어야 할 것

쌍곡함수를 정의했으니 써먹어야 한다. 제대로 쓰기 위해서 알아두어야 할 것을 정리해 둔다.

항등식

$$\cosh ^2 x -\sinh^2 x=1$$

$$\sinh 2x=2\sinh x\cosh x$$

$$\cosh 2x=\cosh ^2 x +\sinh^2 x$$

$$\cosh ^2 x= \frac{1}{2}(\cosh2 x+1)$$

$$\sinh ^2 x = \frac{1}{2}(\cosh2 x-1)$$

$$\tanh ^2 x =1-sech ^2 x$$

$$\coth ^2 x =1+csch ^2 x$$

도함수와 부정적분

$$\frac{d}{dx}(\sinh x)=\cosh x\quad\quad \int \cosh x dx=\sinh x +C$$

$$\frac{d}{dx}(\cosh x)=\sinh x\quad\quad \int \sinh x dx=\cosh x +C$$

$$\frac{d}{dx}(\tanh x)=sech^2 x\quad\quad \int sech^2 x dx=\tanh x +C$$

$$\frac{d}{dx}(\coth x)=csch^2 x\quad\quad \int csch^2 x dx=-\coth x +C$$

$$\frac{d}{dx}(sech x)=-sech x\tanh x\quad\quad \int sech x\tanh x dx=sech x +C$$

$$\frac{d}{dx}(csch x)=-csch x \coth x \quad\quad \int csch x \coth x dx=-csch x +C$$

증명은 아주 간단하므로 스스로 확인해 보자. 다음으로 역함수를 생각해 보자.

$$y=\sinh^{-1}x$$에서 

$$\sinh y=x\quad \frac{e^y -e^{-y}}{2}=x$$

정리하면

$$e^{2y}-2xe^y -1=0$$

$$e^y =x+\sqrt{x^2 +1}$$

$$y=\ln|x+\sqrt{x^2+1}|$$

이 함수를 미분해도 되지만 역함수 미분법으로 미분하자.

$$(f^{-1})^{\prime}(x)=\frac{1}{f^{\prime}(f^{-1}(x))}$$

$$y^{\prime}=\frac{1}{\cosh(\sinh^{-1}x)}$$

$$\quad\quad\quad=\frac{1}{\sqrt{1+\sinh^2(\sinh ^{-1}x)}}$$

$$\quad\quad=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$$

다른 아이들도 쉽게 도함수를 구할 수 있으므로 아래를 확인해 보자.

$$\frac{d(\sinh^{-1}x)}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$$

$$\frac{d(\cosh^{-1}x)}{dx}=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}},\quad\quad x>1$$

$$\frac{d(\tanh^{-1}x)}{dx}=\frac{1}{1-x^2},\quad\quad |x|<1$$

$$\frac{d(\coth^{-1}x)}{dx}=\frac{1}{1-x^2} ,\quad\quad |x|>1$$

$$\frac{d(sech^{-1}x)}{dx}=-\frac{1}{x\sqrt{1-x^2}},\quad\quad 0<x<1$$

$$\frac{d(csch^{-1}x)}{dx}=-\frac{1}{|x|\sqrt{1+x^2}},\quad\quad x\not=0$$

함께 알아 두면 쓸모 있는 항등식

$$sech\bigg(\cosh^{-1}\bigg(\frac{1}{x}\bigg)\bigg)=\frac{1}{\cosh\bigg(\cosh^{-1} \bigg( \frac{1}{x}\bigg)\bigg)}=\frac{1}{\frac{1}{x}}=x$$

$$sech^{-1}=\cosh^{-1}\bigg(\frac{1}{x}\bigg)$$

$$csch^{-1}=\sinh^{-1}\bigg(\frac{1}{x}\bigg)$$

$$coth^{-1}=\tanh^{-1}\bigg(\frac{1}{x}\bigg)$$