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가브리엘의 나팔(Gabriel's Horn)::::수학과 사는 이야기

가브리엘의 나팔(Gabriel's Horn)

수학이야기/미적분 2011. 4. 7. 16:50
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수학자들이 만들어낸 가브리엘의 나팔이 있다. 토리첼리의 트럼펫(Torricelli's trumpet)이라고도 부르는 이 나팔을 부는 곳은 하늘에 있고 소리는 땅에서 난다. 이것은 곡선 y=1x을 구간 [1,)에서 x축을 중심으로 회전하여 만들어지는 나팔이다.




부피와 겉넓이를 구해보자. 먼저 [1,t)까지 부피와 겉넓이를 구한 다음 극한을 생각하자.

Vt=πt11x2dx=π[1x]t1=π(1t+1)
St=2πt11x1+(1x2)2dx>2πt11xdx=2π[lnx]t1=2πlnt
V=limtVt=π
S=limtSt=
부피는 유한한데 그를 둘러싸고 있는 면은 넓이가 무한하다니 재미있는 일이다.

나팔의 안쪽은 페인트로 가득 채울 수 있지만 겉면은 아무리 많은 페인트가 있어도 다 칠하지 못한다.

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