가브리엘의 나팔(Gabriel's Horn)

수학자들이 만들어낸 가브리엘의 나팔이 있다. 토리첼리의 트럼펫(Torricelli's trumpet)이라고도 부르는 이 나팔을 부는 곳은 하늘에 있고 소리는 땅에서 난다. 이것은 곡선 $\displaystyle{y=\frac{1}{x}}$을 구간 $[1,\infty)$에서 $x$축을 중심으로 회전하여 만들어지는 나팔이다.

부피와 겉넓이를 구해보자. 먼저 `[1,t)`까지 부피와 겉넓이를 구한 다음 극한을 생각하자.

$$V_{t}=\pi \int_{1}^{t}\frac{1}{x^2}dx=\pi\bigg[-\frac{1}{x}\bigg]_{1}^{t}=\pi \bigg(-\frac{1}{t}+1 \bigg)$$
$$S_{t}=2\pi \int_{1}^{t}\frac{1}{x}\sqrt{1+\bigg( - \frac{1}{x^2}\bigg)^2}dx>2\pi \int_{1}^{t}\frac{1}{x}dx=2\pi[\ln x]_{1}^{t}=2\pi \ln t$$
$$V=\lim_{t \rightarrow \infty }V_{t}=\pi $$
$$S=\lim_{t \rightarrow \infty }S_{t}=\infty $$
부피는 유한한데 그를 둘러싸고 있는 면은 넓이가 무한하다니 재미있는 일이다.

나팔의 안쪽은 페인트로 가득 채울 수 있지만 겉면은 아무리 많은 페인트가 있어도 다 칠하지 못한다.