뷔퐁의 바늘문제(Buffon Needle)

프랑스 수학자 뷔퐁(button. 1707~1788)이 낸 바늘 문제를 풀어 보자.

떨어진 거리가 같은 평행선들이 그어진 마룻바닥에 바늘을 떨어뜨렸다. 바늘이 금에 닿을 확률은 얼마인가?

평행선 사이의 거리를 `D`, 바늘의 길이를 `L`이라고 하자.

바늘의 중심에서 가까운 직선까지의 거리를 `d` 바늘과 직선이 이루는 각을 `\theta`라고 하자.

표본공간 `S`는
$$S=\{(d, \theta )| 0\leq d\leq \frac{D}{2}, 0\leq \theta \leq \pi \}$$

 

구하는 확률은 사건 `A` 일 때이므로

$$A=\{(d, \theta) | 0 \leq d \leq \frac{L}{2} \sin \theta , 0\leq \theta \leq \pi \}$$

$$P(A)=\frac{A \text{영역 넓이}}{\text{표본공간 넓이}}\quad\quad=\frac{\int _{0}^{\pi}\frac{L}{2}\sin\theta d\theta}{\frac{D}{2}\pi}=\frac{2L}{D\pi}$$

뷔퐁은 이를 이용하여 바늘을 떨어뜨리는 실험을 계속하여 통계적 확률로 원주율 $\pi$의 값을 계산할 수 있다고 하였다. 마루폭과 길이가 같은 바늘을 던지는 실험을 컴퓨터로 프로그래밍하여 돌려보면 많이 시행할수록 $\displaystyle{\frac{2}{\pi}}$에 가까워지는 걸 볼 수 있다. 아래에 실험실이 있다.

http://www.ms.uky.edu/~mai/java/stat/buff.html