뷔퐁의 바늘문제(Buffon Needle)

수학 이야기/미적분(고교) 2011. 4. 8. 12:45
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프랑스 수학자 뷔퐁(button. 1707~1788)이 낸 바늘문제를 풀어 보자.


떨어진 거리가 같은 평행선들이 그어진 마룻바닥에 바늘을 떨어뜨렸다. 바늘이 금에 닿을 확률은 얼마인가?

평행선 사이의 거리를 `D`, 바늘의 길이를 `L`이라고 하자.

바늘의 중심에서 가까운 직선까지의 거리를 `d` 바늘과 직선이 이루는 각을 `\theta`라고 하자.

표본공간 `S`는
$$S=\{(d, \theta )| 0\leq d\leq \frac{D}{2}, 0\leq \theta \leq \pi \}$$

구하는 확률은 사건 `A` 일 때이므로

$$A=\{(d, \theta) | 0 \leq d \leq \frac{L}{2} \sin \theta , 0\leq \theta \leq \pi \}$$

$$P(A)=\frac{A \text{영역 넓이}}{\text{표본공간 넓이}}\quad\quad=\frac{\int _{0}^{\pi}\frac{L}{2}\sin\theta d\theta}{\frac{D}{2}\pi}=\frac{2L}{D\pi}$$

뷔퐁은 이를 이용하여 바늘을 떨어뜨리는 실험을 계속하여 통계적 확률로 원주율 $\pi$의 값을 계산할 수 있다고 하였다. 마루폭과 길이가 같은 바늘을 던지는 실험을 컴퓨터로 프로그래밍하여 돌려보면 많이 시행할 수록 $\displaystyle{\frac{2}{\pi}}$에 가까워지는 걸 볼 수 있다. 아래에 실험실이 있다.

http://www.ms.uky.edu/~mai/java/stat/buff.html

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  1. S 2011.04.30 23:19 고치기 댓글

    표본공간 d의 범위가 D/2 가 최대라면 바늘의길이(L)와 평행선사이의 간격(D)이 같다는 전제인건가요?

    • 수학이야기 2011.05.01 17:18 신고 고치기

      같다는 전제는 없습니다. d가 바늘 중심과 가까운 직선사이의 거리이니까 D/2 최대이겠지요.

  2. 입wp 2018.11.04 23:54 고치기 댓글

    여기서 당연한 전제이지만 D>L 이라는 조건이 필요합니다.

  3. 앙기미ㅗ띠 2019.01.11 23:15 고치기 댓글

    너무 어렵네요

  4. 김가우스오일러바이어슈트라스 2020.01.18 09:38 고치기 댓글

    재밌네요 ㅎㅎ



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